ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 87 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении n областью значений функции y=7x^2+n является промежуток:

а) [—8; +?); б) [10; +?)?

Дана функция:
\[
y = 7x^2 + n;
\]

a) \( E(y) = [-8; +\infty); \)

Ответ: \( n = -8 \).

б) \( E(y) = [10; +\infty); \)

Ответ: \( n = 10 \).

Дана функция:

\[
y = 7x^2 + n
\]

а) \( E(y) = [-8; +\infty) \):

Функция \( y = 7x^2 + n \) — это парабола, открывающаяся вверх, так как коэффициент перед \( x^2 \) равен положительному числу (7). Так как эта функция — квадратичная, её график имеет форму параболы. Важно заметить, что её вершина будет находиться в точке \( x = 0 \), так как квадратный член \( 7x^2 \) не содержит линейного члена, а \( n \) — это просто вертикальный сдвиг параболы.

Шаг 1: Рассмотрим, что происходит с функцией при \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение функции:

\[
y = 7(0)^2 + n = n.
\]

Мы видим, что функция \( y = 7x^2 + n \) принимает своё минимальное значение при \( x = 0 \), и это значение равно \( y = n \), так как для \( x = 0 \) квадратный член \( 7x^2 \) обнуляется.

Шаг 2: Теперь, по условию задачи, область значений функции \( E(y) \) задана как \( [-8; +\infty) \). Это означает, что минимальное значение функции должно быть равно -8, так как именно это значение будет наименьшим, а затем функция будет возрастать на интервале \( [0; +\infty) \) (так как парабола открывается вверх).

Таким образом, мы приравниваем минимальное значение \( n \) к -8:

\[
n = -8.
\]

Ответ: \( n = -8 \).

б) \( E(y) = [10; +\infty) \):

Теперь рассмотри другую задачу, где область значений функции задана как \( E(y) = [10; +\infty) \). Мы знаем, что функция \( y = 7x^2 + n \) достигает своего минимального значения при \( x = 0 \), и это минимальное значение равно \( n \).

Шаг 1: Поскольку минимальное значение функции на графике равно \( n \), и по условию задачи это значение должно быть 10, то мы приравниваем \( n \) к 10:

\[
n = 10.
\]

Ответ: \( n = 10 \).

Итог:

• Для функции \( y = 7x^2 + n \), если область значений \( E(y) = [-8; +\infty) \), то \( n = -8 \).
• Для функции \( y = 7x^2 + n \), если область значений \( E(y) = [10; +\infty) \), то \( n = 10 \).

Объяснение:

Каждая из этих функций представляет собой параболу, которая имеет минимум в точке \( x = 0 \), так как это стандартная форма квадратичной функции без линейного члена. Значение функции при \( x = 0 \) и будет минимальным значением функции на графике. Таким образом, значение \( n \) будет определять, какое именно значение \( y \) будет наименьшим.

Задача сводится к нахождению значения \( n \), которое соответствует минимальному значению функции на графике. Если минимальное значение \( y \) должно быть равно -8 или 10, то \( n \) равно этим значениям соответственно.