ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 79 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя свойства монотонности функций, решите уравнение:

а) (x^4+5x-6)/x=10; б) 24/(x+5)-v(x+3)=2.

Решить уравнение:

a) \( \frac{x^4 + 5x — 6}{x} = 10; \)

\[
x^4 + 5x — 6 = 10x;
\]

\[
x^4 + 5x — 6 — 10x = 0;
\]

\[
x^4 = 5x + 6, \ x^3 = 5 + \frac{6}{x};
\]

Для \( x < 0 \):
\[
f(x) = x^4 \text{ убивает};
\]

\[
g(x) = 5x + 6 \text{ возрастает};
\]

\[
g(-1) = (-1)^4 = 1;
\]

\[
g(-1) = -5 + 6 = 1;
\]
Для \( x > 1 \):
\[
f(x) = x^3 \text{ возрастает};
\]

\[
g(x) = 5 + \frac{6}{x} \text{ убивает};
\]

\[
f(2) = 2^3 = 8;
\]

\[
g(2) = 5 + 3 = 8;
\]

Ответ: \( x = -1, 2. \)

б) \( \frac{24}{x + 5} — \sqrt{x + 3} = 2; \)

\[
\frac{24}{x + 5} — 2 = \sqrt{x + 3};
\]

\[
f(x) = \frac{24}{x + 5} — 2 \text{ убивает};
\]

\[
g(x) = \sqrt{x + 3} \text{ возрастает};
\]

\[
f(1) = \frac{24}{6} — 2 = 4 — 2 = 2;
\]

\[
g(1) = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;
\]
Ответ: \( x = 1. \)

a) \( \frac{x^4 + 5x — 6}{x} = 10 \):

Шаг 1: Умножим обе стороны уравнения на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\[
x^4 + 5x — 6 = 10x
\]

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону:

\[
x^4 + 5x — 6 — 10x = 0
\]
Упрощаем:
\[
x^4 — 5x — 6 = 0
\]

Шаг 3: Теперь преобразуем уравнение в более удобный вид:

\[
x^4 = 5x + 6
\]
Рассмотрим две функции:
\[
f(x) = x^4, \quad g(x) = 5x + 6.
\]

Для \( x < 0 \): Рассмотрим поведение функций:
\( f(x) = x^4 \) — функция убывает на интервале \( (-\infty, 0) \).

\( g(x) = 5x + 6 \) — функция возрастает, так как это линейная функция с положительным коэффициентом при \( x \).

Рассмотрим \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^4 = 1, \quad g(-1) = 5(-1) + 6 = -5 + 6 = 1.
\]
Значения обеих функций равны, следовательно, \( x = -1 \) является решением.

Для \( x > 1 \): Рассмотрим поведение функций:

\( f(x) = x^3 \) — функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \).

\( g(x) = 5 + \frac{6}{x} \) — функция убывает на интервале \( (0, +\infty) \).

Рассмотрим \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2^3 = 8, \quad g(2) = 5 + \frac{6}{2} = 5 + 3 = 8.
\]

Значения обеих функций равны, следовательно, \( x = 2 \) является решением.

Ответ: \( x = -1, 2. \)

b) \( \frac{24}{x + 5} — \sqrt{x + 3} = 2 \):

Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону:

\[
\frac{24}{x + 5} — 2 = \sqrt{x + 3}
\]

Шаг 2: Рассмотрим две функции:
\[
f(x) = \frac{24}{x + 5} — 2, \quad g(x) = \sqrt{x + 3}.
\]

\( f(x) = \frac{24}{x + 5} — 2 \) убывает на интервале \( (-\infty, -5) \).

\( g(x) = \sqrt{x + 3} \) возрастает на интервале \( [-3, +\infty) \).

Рассмотрим \( x = 1 \):
\[
f(1) = \frac{24}{1 + 5} — 2 = \frac{24}{6} — 2 = 4 — 2 = 2,
\]

\[
g(1) = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2.
\]
Значения обеих функций равны, следовательно, \( x = 1 \) является решением.

Ответ: \( x = 1. \)