ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 78 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) 7a^2+44a-35; б) 4b^2+2b-12.

Разложить на множители:

a) \( 7a^2 + 44a — 35 = (a + 7)(7a — 5); \)

\[
D = 44^2 + 4 \cdot 7 \cdot (-35) = 1936 + 980 = 2916, \text{ тогда:}
\]

\[
a_1 = \frac{-44 — 54}{2 \cdot 7} = \frac{-98}{14} = -7 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-44 + 54}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7};
\]

б) \( 4b^2 — 12b — 12 = 2(b + 2)(2b — 3); \)

\[
D = (-12)^2 + 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 144 + 192 = 196, \text{ тогда:}
\]

\[
b_1 = \frac{-(-12) — 14}{2 \cdot 2} = \frac{12 — 14}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad b_2 =\]

\[\frac{-(-12) + 14}{2 \cdot 2} = \frac{12 + 14}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2};
\]

a) \( 7a^2 + 44a — 35 \):

Шаг 1: Рассчитаем дискриминант:

Дискриминант для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac.
\]

Для уравнения \( 7a^2 + 44a — 35 \) коэффициенты: \( a = 7 \), \( b = 44 \), \( c = -35 \). Подставим их в формулу для дискриминанта:

\[
D = 44^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-35) = 1936 + 980 = 2916.
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[
a_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.
\]

Для \( a_1 \):

\[
a_1 = \frac{-44 — \sqrt{2916}}{2 \cdot 7} = \frac{-44 — 54}{14} = \frac{-98}{14} = -7.
\]

Для \( a_2 \):

\[
a_2 = \frac{-44 + \sqrt{2916}}{2 \cdot 7} = \frac{-44 + 54}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}.
\]

Шаг 3: Разлагаем на множители:

Итак, у нас есть корни \( a_1 = -7 \) и \( a_2 = \frac{5}{7} \), следовательно, разложение будет следующим:

\[
7a^2 + 44a — 35 = 7(a + 7)(a — \frac{5}{7}) = (a + 7)(7a — 5).
\]

Что и требовалось доказать.

б) \( 4b^2 — 12b — 12 \):

Шаг 1: Рассчитаем дискриминант:

Для уравнения \( 4b^2 — 12b — 12 \) коэффициенты: \( a = 4 \), \( b = -12 \), \( c = -12 \). Подставим их в формулу для дискриминанта:

\[
D = (-12)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 144 + 192 = 196.
\]

Шаг 2: Находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[
b_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{196}}{2 \cdot 4} = \frac{12 — 14}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}.
\]

Для \( b_2 \):

\[
b_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{196}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 14}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4}.
\]

Шаг 3: Разлагаем на множители:

Итак, у нас есть корни \( b_1 = -\frac{1}{2} \) и \( b_2 = \frac{13}{2} \), следовательно, разложение будет следующим:

\[
4b^2 — 12b — 12 = 4(b + \frac{1}{2})(b — \frac{13}{2}) = 2(b + 2)(2b — 3).
\]

Что и требовалось доказать.