ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 75 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Среди функций y=|x|, y=sgn(x), y=[x] и y={x} укажите ограниченные функции.

Ограниченные функции:

\[
y = |x|, \ y \geq 0;
\]

\[
y = \text{sgn} \, x, \ -1 \leq y \leq 1;
\]

\[
y = [x], \ y \in \mathbb{Z};
\]

\[
y = \{x\}, \ 0 \leq y < 1;
\]

Ответ: \( y = \text{sgn} \, x, \ y = \{x\} \).

Ограниченные функции:

1. Функция \( y = |x| \):

Модуль числа \( |x| \) — это функция, которая возвращает неотрицательное значение для любого значения \( x \). То есть, для любого \( x \) выполняется условие:
\[
y = |x| \geq 0.
\]
Например, для \( x = -2 \), \( |x| = 2 \), а для \( x = 3 \), \( |x| = 3 \). Эта функция возрастает бесконечно, поскольку значения \( y \) могут стать сколь угодно большими по мере увеличения \( |x| \). Таким образом, она не ограничена сверху, хотя она ограничена снизу, так как \( y \geq 0 \).

Итог: Функция \( y = |x| \) не является ограниченной, так как она растёт бесконечно при увеличении \( |x| \), но имеет нижнюю границу (0).

2. Функция \( y = \text{sgn} \, x \):

Функция знака \( \text{sgn} \, x \) определена как:
\[
\text{sgn} \, x =
\begin{cases}
1, & \text{если } x > 0; \\
0, & \text{если } x = 0; \\
-1, & \text{если } x < 0.
\end{cases}
\]
То есть, эта функция принимает одно из трёх возможных значений: 1, 0 или -1. Поскольку все эти значения ограничены, мы можем сказать, что \( y \) всегда лежит в интервале \( [-1, 1] \).

Итог: Функция \( y = \text{sgn} \, x \) является ограниченной, так как все её значения принадлежат промежутку от -1 до 1, то есть \( -1 \leq y \leq 1 \).

3. Функция \( y = [x] \):

Функция \( y = [x] \), или целая часть числа \( x \), возвращает наибольшее целое число, которое не превосходит \( x \). Например:
— Если \( x = 2.7 \), то \( [x] = 2 \);
— Если \( x = -1.4 \), то \( [x] = -2 \).
Функция \( [x] \) может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от \( x \). С точки зрения ограниченности, эта функция не ограничена сверху или снизу, так как для больших значений \( x \), целая часть будет увеличиваться бесконечно, а для отрицательных значений — уменьшаться бесконечно.

Итог: Функция \( y = [x] \) не является ограниченной, так как её значения могут расти и уменьшаться без ограничений. Она ограничена только на ограниченных интервалах, но не на всей оси \( x \).

4. Функция \( y = \{x\} \):

Функция \( y = \{x\} \) — это дробная часть числа \( x \), которая определяется как:
\[
\{x\} = x — [x],
\]
где \( [x] \) — целая часть числа \( x \). Дробная часть всегда лежит в интервале от 0 до 1, не включая 1. То есть для любого \( x \), всегда выполняется условие:
\[
0 \leq \{x\} < 1.
\]
Примеры:
— Для \( x = 2.7 \), \( \{x\} = 2.7 — 2 = 0.7 \);
— Для \( x = -1.4 \), \( \{x\} = -1.4 — (-2) = 0.6 \).

Итог: Функция \( y = \{x\} \) является ограниченной, так как её значения всегда лежат в интервале от 0 до 1, то есть \( 0 \leq y < 1 \).

Ответ: Ограниченными функциями являются:
— \( y = \text{sgn} \, x \), так как \( -1 \leq y \leq 1 \);
— \( y = \{x\} \), так как \( 0 \leq y < 1 \).