ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 70 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция y=6/(1+1/x^2) ограниченная, но не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

\( y = \frac{6}{1 + x^2} \)

\( y + \frac{y}{x^2} = 6 \)

\( \frac{y}{x^2} = 6 — y \)

\( y = x^2(6 — y) \)

\( x^2 = \frac{y}{6 — y} \)

\( \frac{y}{6 — y} > 0 \)

\( \frac{y}{y — 6} < 0 \)

\( 0 < y < 6 \)

Шаг 1: Начальное выражение: \( y = \frac{6}{1 + x^2} \)

Шаг 2: Исходное уравнение: \( y + \frac{y}{x^2} = 6 \)

Шаг 3: Переносим \( \frac{y}{x^2} \) в правую часть уравнения:
\( \frac{y}{x^2} = 6 — y \)

Шаг 4: Умножаем обе части уравнения на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:
\( y = x^2(6 — y) \)

Шаг 5: Раскрываем скобки в правой части уравнения:
\( y = x^2(6 — y) \), что дает нам:
\( y = 6x^2 — yx^2 \)

Шаг 6: Переносим все члены, содержащие \( y \), на одну сторону уравнения:
\( y + yx^2 = 6x^2 \)

Шаг 7: Вынуждаем \( y \) за скобки:
\( y(1 + x^2) = 6x^2 \)

Шаг 8: Решаем для \( y \):
\( y = \frac{6x^2}{1 + x^2} \)

Шаг 9: Рассматриваем область допустимых значений для \( y \), чтобы функция была определена.
Нам нужно, чтобы дробь \( \frac{y}{6 — y} \) была положительной.
Поэтому получаем неравенство:
\( \frac{y}{6 — y} > 0 \)

Шаг 10: Переписываем неравенство так, чтобы найти его решение:
\( \frac{y}{y — 6} < 0 \)

Шаг 11: Решаем это неравенство, что даёт результат:
\( 0 < y < 6 \)

Ответ: Область значений функции: \( 0 < y < 6 \)