ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 55 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что функция f(x) определена на множестве всех действительных чисел. Исследуйте на чётность-нечётность функцию ?(x)=x^2·f(-x), если: а) f(x) чётная; б) f(x) нечётная.

(Считаем, что функция f(x) отлична от нулевой функции.)

Исследовать на четность:

\( \varphi(x) = x^2 \cdot f(-x); \)

а) Если \( f(x) \) — четная функция:
\( \varphi(-x) = (-x)^2 \cdot f(-x) = x^2 \cdot f(-x); \)
Ответ: четная.

б) Если \( f(x) \) — нечетная функция:
\( \varphi(-x) = (-x)^2 \cdot f(-x) = -x^2 \cdot f(-x); \)
Ответ: нечетная.

Задана функция: \( \varphi(x) = x^2 \cdot f(-x); \)

а) Если \( f(x) \) — четная функция:

Исследуем на четность функцию \( \varphi(x) \). Для \( f(x) \), которая является четной функцией, выполняется следующее условие:

• По определению четной функции, \( f(-x) = f(x) \);

Подставим это в выражение для \( \varphi(x) \):

\( \varphi(-x) = (-x)^2 \cdot f(-(-x)) = x^2 \cdot f(x) = \varphi(x); \)

Таким образом, функция \( \varphi(x) \) является четной.

Ответ: четная.

б) Если \( f(x) \) — нечетная функция:

Исследуем на четность функцию \( \varphi(x) \). Для \( f(x) \), которая является нечетной функцией, выполняется следующее условие:

• По определению нечетной функции, \( f(-x) = -f(x) \);

Подставим это в выражение для \( \varphi(x) \):

\( \varphi(-x) = (-x)^2 \cdot f(-(-x)) = x^2 \cdot f(x) = -x^2 \cdot f(x) = -\varphi(x); \)

Таким образом, функция \( \varphi(x) \) является нечетной.

Ответ: нечетная.