ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 54 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что функция f(x) определена на множестве всех действительных чисел. Исследуйте на чётность-нечётность функцию ?(x)=x·f(x), если: а) f(x) чётная; б) f(x) нечётная.

(Считаем, что функция f(x) отлична от нулевой функции.)

Исследовать на четность:

\( \varphi(x) = x \cdot f(x); \)

а) Если \( f(x) \) — четная функция:
\( \varphi(-x) = -x \cdot f(-x) = -x \cdot f(x); \)
Ответ: нечетная.

б) Если \( f(x) \) — нечетная функция:
\( \varphi(-x) = -x \cdot f(-x) = x \cdot f(x); \)
Ответ: четная.

Задана функция: \( \varphi(x) = x \cdot f(x); \)

а) Если \( f(x) \) — четная функция:

Исследуем на четность функцию \( \varphi(x) \). Для \( f(x) \), которая является четной функцией, выполняется следующее условие:

• По определению четной функции, \( f(-x) = f(x) \);

Подставим это в выражение для \( \varphi(x) \):

\( \varphi(-x) = (-x) \cdot f(-x) = (-x) \cdot f(x) = -x \cdot f(x) = -\varphi(x); \)

Таким образом, \( \varphi(x) \) является нечетной функцией.

Ответ: нечетная.

б) Если \( f(x) \) — нечетная функция:

Исследуем на четность функцию \( \varphi(x) \). Для \( f(x) \), которая является нечетной функцией, выполняется следующее условие:

• По определению нечетной функции, \( f(-x) = -f(x) \);

Подставим это в выражение для \( \varphi(x) \):

\( \varphi(-x) = (-x) \cdot f(-x) = (-x) \cdot (-f(x)) = x \cdot f(x) = \varphi(x); \)

Таким образом, \( \varphi(x) \) является четной функцией.

Ответ: четная.