ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 52 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Объясните, какие из указанных функций являются нечётными:

а) g(x)=2x^3+4sgn(x)-1/4; в) g(x)=([x]+{x})/(x^3·sgn(x));

б) g(x)=-3x^5·|x|·sgn(x); г) g(x)=v(sgn(x^2-2))/x^3.

Исследовать на четность:

а) \( g(x) = 2x^3 + 4 \cdot \text{sgn}(x) — \frac{1}{4}; \)
\( 2x^3 \) — нечетная функция;
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
\( \frac{1}{4} \) — постоянная функция;
Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) \( g(x) = -3x^5 \cdot |x| \cdot \text{sgn}(x); \)
\( 3x^5 \) — нечетная функция;
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
\( |x| \) — четная функция;
Ответ: четная.

в) \( g(x) = [x] + \{x\} = \frac{1}{x^2 \cdot \text{sgn}(x)}; \)
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
\( x^2 \) — четная функция;
Ответ: нечетная.

г) \( g(x) = \sqrt{\frac{\text{sgn}(x^2 — 2)}{x^3}}; \)
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
\( x^2 — 2 \) — четная функция;
\( x^3 \) — нечетная функция;
\( \text{sgn}(x^2 — 2) \) — четная;
Ответ: нечетная.

а) \( g(x) = 2x^3 + 4 \cdot \text{sgn}(x) — \frac{1}{4}; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( 2x^3 \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -2x^3 = -f(x) \);

\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

\( \frac{1}{4} \) — постоянная функция, то есть \( f(-x) = \frac{1}{4} = f(x) \);

Поскольку функция включает как нечетные, так и постоянные (нечетные) части, она не будет четной или нечетной, так как сумма этих типов функций не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) \( g(x) = -3x^5 \cdot |x| \cdot \text{sgn}(x); \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( -3x^5 \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -3(-x)^5 = -(-3x^5) = -f(x) \);

\( |x| \) — четная функция, так как \( f(-x) = |x| = f(x) \);

\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

Примечание: Произведение четной и нечетной функций всегда нечетное. Однако произведение нечетных частей, как в случае с \( -3x^5 \cdot \text{sgn}(x) \), делает результат нечетным. Получается, что эта функция является четной.

Ответ: четная.

в) \( g(x) = \frac{1}{x^2 \cdot \text{sgn}(x)}; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

\( x^2 \) — четная функция, так как \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \);

Для дроби, если числитель нечетный, а знаменатель четный, то дробь будет нечетной, так как \( f(-x) = -f(x) \). Следовательно, функция \( g(x) = \frac{1}{x^2 \cdot \text{sgn}(x)} \) является нечетной.

Ответ: нечетная.

г) \( g(x) = \sqrt{\frac{\text{sgn}(x^2 — 2)}{x^3}}; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

\( x^2 — 2 \) — четная функция, так как \( f(-x) = (-x)^2 — 2 = x^2 — 2 = f(x) \);

\( x^3 \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \);

\( \text{sgn}(x^2 — 2) \) — четная функция, так как \( f(-x) = \text{sgn}(x^2 — 2) = f(x) \);

Теперь, учитывая, что числитель \( \text{sgn}(x^2 — 2) \) — четная функция, а знаменатель \( x^3 \) — нечетная, получается, что функция будет нечетной. Это все дает итоговый результат, что \( g(x) \) — нечетная функция.

Ответ: нечетная.