ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 38 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что f(x)=x^8+ax^4+1 и f(2)=305. Найдите f(-2) и значение коэффициента a.

Задана функция:

\( f(x) = x^8 + ax^4 + 1 \);
\( f(2) = 305; \)

1) Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

2) Исследуем на четность:
\( f(-x) = (-x)^8 + a(-x)^4 + 1; \)
\( f(-x) = x^8 + ax^4 + 1 = f(x); \)

3) Значение функции:
\( f(-2) = f(2) = 305; \)

4) Значение коэффициента:
\( f(2) = 256 + 16a + 1 = 305; \)
\( 16a = 48, 4a = 12, a = 3; \)

Ответ: 305; \( a = 3 \).

Задана функция:

\( f(x) = x^8 + ax^4 + 1 \);

\( f(2) = 305; \)

1) Область определения:

Функция \( f(x) = x^8 + ax^4 + 1 \) состоит из многочлена, который определён для всех значений \( x \). Следовательно, область определения:

\( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

2) Исследуем на четность:

Для того чтобы доказать четность функции, нужно проверить, выполняется ли равенство \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \). Подставляем \( -x \) вместо \( x \) в исходную функцию:

\( f(-x) = (-x)^8 + a(-x)^4 + 1 \);

\( f(-x) = x^8 + ax^4 + 1 = f(x) \);

Так как \( f(-x) = f(x) \), функция чётная.

3) Значение функции:

Теперь подставим \( x = -2 \), чтобы найти значение функции для \( f(-2) \):

\( f(-2) = (-2)^8 + a(-2)^4 + 1 \);

Так как \( (-2)^8 = 256 \) и \( (-2)^4 = 16 \), то получаем:

\( f(-2) = 256 + 16a + 1 \);

Поскольку функция чётная, то \( f(-2) = f(2) \), следовательно:

\( f(-2) = 305 \).

4) Значение коэффициента:

Теперь подставим \( f(2) = 305 \) в уравнение для функции \( f(x) \):

\( f(2) = 2^8 + a \cdot 2^4 + 1 = 305 \);

\( f(2) = 256 + 16a + 1 = 305 \);

Теперь решим это уравнение:

\( 256 + 16a + 1 = 305 \);

\( 257 + 16a = 305 \);

\( 16a = 48 \);

\( a = 3 \).

Ответ: Значение функции при \( f(2) = 305 \), и коэффициент \( a = 3 \).