ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 30 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции:

а) y=x^6; б) y=x^9; в) y=|x-5|; г) y=|x+5|.

Промежутки монотонности:

а) \[ y = x^6 \]

Ответ: возрастает на \[ [0; +\infty) \]

убывает на \[ (-\infty 0] \]

б) \[ y = x^9 \]

Ответ: возрастает на \[ (-\infty; +\infty) \]

в) \[ y = |x — 5| \]

Ответ: возрастает на \[ [5; +\infty) \]

убывает на \[ (-\infty; 5] \]

г) \[ y = |x + 5| \]

Ответ: возрастает на \[ [-5; +\infty) \]

убывает на \[ (-\infty; -5] \]

Задание: Найти промежутки монотонности для каждой функции.

а) Функция: \( y = x^6 \)

Рассмотрим функцию \( y = x^6 \).

• Производная функции \( y = x^6 \) равна \( y’ = 6x^5 \).
• Функция возрастает, когда производная положительна, то есть для \( x \geq 0 \), и убывает, когда производная отрицательна, то есть для \( x \leq 0 \).

Ответ: Функция возрастает на интервале \( [0; +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\infty; 0] \).

б) Функция: \( y = x^9 \)

Рассмотрим функцию \( y = x^9 \).

• Производная функции \( y = x^9 \) равна \( y’ = 9x^8 \).
• Так как производная \( y’ = 9x^8 \) всегда положительна для всех \( x \), то функция возрастает на всем интервале \( (-\infty; +\infty) \).

Ответ: Функция возрастает на интервале \( (-\infty; +\infty) \).

в) Функция: \( y = |x — 5| \)

Рассмотрим функцию \( y = |x — 5| \).

• Производная функции \( y = |x — 5| \) определяется как:
  • Если \( x > 5 \), то \( y = x — 5 \), и производная равна \( y’ = 1 \) (функция возрастает);
  • Если \( x < 5 \), то \( y = -(x — 5) \), и производная равна \( y’ = -1 \) (функция убывает);
  • В точке \( x = 5 \) производная не существует (переход между возрастанием и убыванием).

Ответ: Функция возрастает на интервале \( [5; +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\infty; 5] \).

г) Функция: \( y = |x + 5| \)

Рассмотрим функцию \( y = |x + 5| \).

• Производная функции \( y = |x + 5| \) определяется аналогично:
  • Если \( x > -5 \), то \( y = x + 5 \), и производная равна \( y’ = 1 \) (функция возрастает);
  • Если \( x < -5 \), то \( y = -(x + 5) \), и производная равна \( y’ = -1 \) (функция убывает);
  • В точке \( x = -5 \) производная не существует (переход между возрастанием и убыванием).

Ответ: Функция возрастает на интервале \( [-5; +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\infty; -5] \).