ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 29 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений {v(x-y)+(x-y)^3=2, x^2-6y+1=0}.

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\sqrt{x — y} + (x — y)^3 = 2, \\
x^2 — 6y + 1 = 0
\end{cases}
\]

1) Пусть \[ t = x — y \], тогда:

\[ f(t) = \sqrt{t} + t^3 \] — возрастает;

\[ f(1) = \sqrt{1} + 1^3 = 1 + 1 = 2; \]

\[ x — y = 1, \, y = x — 1. \]

2) Второе уравнение:
\[ x^2 — 6(x — 1) + 1 = 0; \]

\[ x^2 — 6x + 7 = 0; \]

\[ D = 6^2 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 8, \] тогда:

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2};
\]

\[ y = 3 \pm \sqrt{2} — 1 = 2 \pm \sqrt{2}. \]

Ответ:
\[
(3 — \sqrt{2}; 2 — \sqrt{2}), \, (3 + \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}).
\]

Задана система уравнений:

\[
\begin{cases}
\sqrt{x — y} + (x — y)^3 = 2, \\
x^2 — 6y + 1 = 0
\end{cases}

1) Пусть \( t = x — y \), тогда:

Представим систему в виде функции \( f(t) = \sqrt{t} + t^3 \), где \( t = x — y \).

Анализ функции:

• • Функция \( f(t) = \sqrt{t} + t^3 \) возрастает, так как её производная положительна для всех \( t \geq 0 \), поскольку \( \sqrt{t} \) возрастает и \( t^3 \) тоже возрастает.
  • Подставим \( t = 1 \):

\[
f(1) = \sqrt{1} + 1^3 = 1 + 1 = 2
\]

• Таким образом, \( x — y = 1 \), и отсюда получаем: \( y = x — 1 \).

2) Подставим \( y = x — 1 \) во второе уравнение:

\[
x^2 — 6(x — 1) + 1 = 0;
\]

Упростим:

\[
x^2 — 6x + 6 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 6x + 7 = 0
\]

Решим полученное квадратное уравнение:

Для уравнения \( x^2 — 6x + 7 = 0 \) находим дискриминант:

\[
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 — 28 = 8
\]

Теперь найдём корни уравнения:

\[
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}
\]

Таким образом, \( x = 3 \pm \sqrt{2} \), а для \( y \) получаем:

\[
y = 3 \pm \sqrt{2} — 1 = 2 \pm \sqrt{2}
\]

Ответ: Система уравнений имеет два решения:

• \( (x, y) = (3 — \sqrt{2}, 2 — \sqrt{2}) \)
• \( (x, y) = (3 + \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) \)