ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 27 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция y=x^2+|x|+vx+2x-3 является возрастающей функцией. Подберите значение аргумента x, при котором:

а) y=27; б) у=108.

Данная функция возрастает:
\[ y = x^2 + |x| + \sqrt{x} + 2x — 3; \]

\[ y = \sqrt{x}, \, x \geq 0  — возрастает; \]

\[ y = |x|, \, x \geq 0  — возрастает;\]

\[ y = x^2, \, x \geq 0  — возрастает;\]

\[ y = 2x — 3  — возрастает.\]

а) \[ y = 27; \]

\[ y(4) = 4^2 + |4| + \sqrt{4} + 8 — 3; \]

\[ y(4) = 16 + 4 + 2 + 5 = 27; \]

\[ Ответ:  x = 4. \]

б) \[ y = 108; \]

\[ y(9) = 9^2 + |9| + \sqrt{9} + 18 — 3; \]

\[ y(9) = 81 + 9 + 3 + 15 = 108; \]

\[ Ответ:  x = 9. \]

Дана сложная функция:

$$y = x^2 + |x| + \sqrt{x} + 2x — 3$$

Задача — найти такие значения $x$, при которых $y = 27$ и $y = 108$.

Также даны свойства слагаемых функций:

• $\sqrt{x}$, $|x|$, $x^2$, $2x — 3$ — возрастают при $x \geq 0$
• Следовательно, вся функция возрастает при $x \geq 0$.

Это очень важно:

Так как функция возрастает, у неё всего одно значение $x$ для каждого значения $y$ на отрезке $x \geq 0$.
Значит, как только мы найдём $x$, при котором $y = 27$ или $y = 108$, — это и будет единственный правильный ответ.

Формула функции

Разложим подробно формулу:

$$y = x^2 + |x| + \sqrt{x} + 2x — 3$$

Заменим каждую часть:

• $x^2$ — квадрат числа
• $|x|$ — модуль числа (для $x \geq 0$, просто $x$)
• $\sqrt{x}$ — корень квадратный
• $2x$ — удвоенное значение $x$
• $-3$ — постоянное число

а) — найти $x$, если $y = 27$

Функция:

$$y = x^2 + |x| + \sqrt{x} + 2x — 3$$

Ищем $x$, при котором $y = 27$

Шаг 1. Пробуем $x = 4$

Разберём все слагаемые по отдельности:

1. $x^2 = 4^2 = 16$
2. $|x| = |4| = 4$
3. $\sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$
4. $2x = 2 \cdot 4 = 8$
5. $-3$ (остаётся без изменений)

Теперь всё сложим:

$$y = 16 + 4 + 2 + 8 — 3$$

Промежуточные шаги:

• $16 + 4 = 20$
• $20 + 2 = 22$
• $22 + 8 = 30$
• $30 — 3 = 27$

Совпало!

Ответ:

$$\boxed{x = 4}$$

б) — найти $x$, если $y = 108$

Та же функция:

$$y = x^2 + |x| + \sqrt{x} + 2x — 3$$

Шаг 1. Пробуем $x = 9$

Считаем каждое слагаемое:

1. $x^2 = 9^2 = 81$
2. $|x| = |9| = 9$
3. $\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3$
4. $2x = 2 \cdot 9 = 18$
5. $-3$

Теперь подставим и просуммируем:

$$y = 81 + 9 + 3 + 18 — 3$$

Промежуточные шаги:

• $81 + 9 = 90$
• $90 + 3 = 93$
• $93 + 18 = 111$
• $111 — 3 = 108$

Совпало!

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=9}}$$