ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 23 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны функции f(x)=vx и g(x)=2-x. Задайте формулой функцию:

а) y=f(g(x)); б) y=g(f(x)).

Определите характер монотонности каждой из полученных функций.

Заданы две функции:

\[ f(x) = \sqrt{x}, \quad g(x) = 2 — x; \]

а) \[ y = f(g(x)) = \sqrt{2 — x}; \]

Ответ: функция убывает.

б) \[ y = g(f(x)) = 2 — \sqrt{x}; \]

Ответ: функция убывает.

Заданы две функции:

\( f(x) = \sqrt{x}, \quad g(x) = 2 — x \)

а) Составная функция: \( y = f(g(x)) = \sqrt{2 — x} \)

Для того чтобы найти \( f(g(x)) \), подставляем выражение для \( g(x) \) в \( f(x) \). То есть, вместо \( x \) в \( f(x) \) подставляем \( g(x) = 2 — x \). Получаем:

\[
f(g(x)) = f(2 — x) = \sqrt{2 — x}
\]

Так как \( 2 — x \) убывает, и \( \sqrt{x} \) является возрастающей функцией, то составная функция будет убывать, так как аргумент под корнем уменьшается по мере увеличения \( x \).

Ответ: Функция \( y = f(g(x)) = \sqrt{2 — x} \) убывает.

б) Составная функция: \( y = g(f(x)) = 2 — \sqrt{x} \)

Теперь найдем \( g(f(x)) \), подставив функцию \( f(x) = \sqrt{x} \) в \( g(x) = 2 — x \). То есть, вместо \( x \) в \( g(x) \) подставляем \( f(x) = \sqrt{x} \). Получаем:

\[
g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = 2 — \sqrt{x}
\]

Так как \( \sqrt{x} \) возрастает, то \( 2 — \sqrt{x} \) убывает. Это подтверждает, что составная функция \( y = g(f(x)) = 2 — \sqrt{x} \) убывает.

Ответ: Функция \( y = g(f(x)) = 2 — \sqrt{x} \) убывает.