ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 22 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если f(x) — убывающая функция, a g(x) — возрастающая функция, то y=f(g(x)) — убывающая функция. Что в этом случае можно сказать о функции ?(x)=g(f(x))? Сформулируйте свойство композиции двух функций с разным характером монотонности.

Заданы функции:
\[
f(x) \text{ — убывает;} \quad g(x) \text{ — возрастает;}
\]

1) Если \(x_2 > x_1\), тогда:
\[
g(x_2) > g(x_1); \quad f(g(x_2)) < f(g(x_1)); \quad y = f(g(x)) \text{ — убывает;}
\]

2) Если \(x_2 > x_1\), тогда:
\[
f(x_2) < f(x_1); \quad g(f(x_2)) < g(f(x_1)); \quad y = g(f(x)) \text{ — убывает;}
\]

Вывод:
Композиция двух функций с разным характером монотонности является убывающей функцией.

Заданы функции:

\( f(x) \text{ — убывает;} \quad g(x) \text{ — возрастает;} \)

1) Если \(x_2 > x_1\), тогда:

\( g(x_2) > g(x_1) \);

\( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \);

Так как \( f(x) \) убывает, то \( f(g(x_2)) \) будет меньше, чем \( f(g(x_1)) \), что означает, что составная функция \( y = f(g(x)) \) убывает на данном интервале.

Ответ: Функция \( y = f(g(x)) \) убывает.

2) Если \(x_2 > x_1\), тогда:

\( f(x_2) < f(x_1) \);

\( g(f(x_2)) < g(f(x_1)) \);

Так как \( g(x) \) возрастает, то составная функция \( y = g(f(x)) \) также будет убывать, так как \( f(x_2) \) меньше \( f(x_1) \).

Ответ: Функция \( y = g(f(x)) \) убывает.

Вывод:

Композиция двух функций с разным характером монотонности (одна убывает, другая возрастает) приводит к убывающей функции, так как каждая из них изменяет направление монотонности другой функции.