Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 22 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если f(x) — убывающая функция, a g(x) — возрастающая функция, то y=f(g(x)) — убывающая функция. Что в этом случае можно сказать о функции ?(x)=g(f(x))? Сформулируйте свойство композиции двух функций с разным характером монотонности.
Заданы функции:
\( f(x) \) — убывает;
\( g(x) \) — возрастает;
1) Если \( x_2 > x_1 \), тогда:
\( g(x_2) > g(x_1); \)
\( f(g(x_2)) < f(g(x_1)); \)
\( y = f(g(x)) \) — убывает;
2) Если \( x_2 > x_1 \), тогда:
\( f(x_2) < f(x_1); \)
\( g(f(x_2)) < g(f(x_1)); \)
\( y = g(f(x)) \) — убывает;
Композиция двух функций с разным характером монотонности является убывающей функцией.
Задача: Докажите, что если \( f(x) \) — убывающая функция, а \( g(x) \) — возрастающая функция, то \( y = f(g(x)) \) — убывающая функция. Что в этом случае можно сказать о функции \( h(x) = g(f(x)) \)? Сформулируйте свойство композиции двух функций с разным характером монотонности.
Шаг 1: Дано, что:
\( f(x) \) — убывающая функция,
\( g(x) \) — возрастающая функция.
1) Анализ функции \( y = f(g(x)) \):
Предположим, что \( x_2 > x_1 \). Поскольку функция \( g(x) \) возрастающая, это означает, что:
\( g(x_2) > g(x_1).
\)
Так как \( f(x) \) — убывающая функция, то для \( y = f(g(x)) \) выполняется следующее неравенство:
\( f(g(x_2)) < f(g(x_1)),
\)
что означает, что функция \( y = f(g(x)) \) убывает при \( x_2 > x_1 \).
2) Анализ функции \( y = g(f(x)) \):
Предположим, что \( x_2 > x_1 \). Поскольку функция \( f(x) \) — убывающая, это означает, что:
\( f(x_2) < f(x_1).
\)
Так как \( g(x) \) — возрастающая функция, то для \( y = g(f(x)) \) выполняется следующее неравенство:
\( g(f(x_2)) < g(f(x_1)),
\)
что означает, что функция \( y = g(f(x)) \) убывает при \( x_2 > x_1 \).
Шаг 2: Сформулируем свойство композиции двух функций с разным характером монотонности:
Если одна из функций \( f(x) \) убывающая, а другая \( g(x) \) возрастающая, то их композиция \( y = f(g(x)) \) будет убывающей функцией.
Если \( f(x) \) убывающая, а \( g(x) \) возрастающая, то композиция \( y = g(f(x)) \) также будет убывающей функцией.
Ответ: Композиция двух функций с разным характером монотонности является убывающей функцией.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.