ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 151 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Область определения функции y=f(x) — промежуток [—10; 16], а область её значений — промежуток [—4; 7]. Найдите область определения и область значений функции: а) y=|f(x)|; б) y=f(|x|).

Дана функция \( f(x): \)
\[
D(f) = [-10; 16];
\]

\[
E(f) = [-4; 7];
\]

а) \( y = |f(x)|; \)
\[
-4 \leq f(x) \leq 7;
\]

\[
0 \leq |f(x)| \leq 7;
\]

Ответ: \( D(f) = [-10; 16] \), \( E(f) = [0; 7] \).

б) \( y = f(|x|); \)
\[
-10 \leq |x| \leq 16;
\]

\[
-16 \leq x \leq 16;
\]

Ответ: \( D(f) = [-16; 16] \), \( E(f) = \text{неизвестно} \).

Дана функция \( f(x): \)

Область определения функции \( f(x) \):

\[
D(f) = [-10; 16];
\]

Область значений функции \( f(x) \):

\[
E(f) = [-4; 7];
\]

а) \( y = |f(x)| \)

Функция \( y = |f(x)| \) представляет собой функцию, где все отрицательные значения функции \( f(x) \) преобразуются в положительные. Таким образом, для значений функции \( f(x) \), лежащих в пределах от -4 до 7, мы получаем следующие изменения:

Так как \( -4 \leq f(x) \leq 7 \), то для \( y = |f(x)| \) будем иметь:

\[
0 \leq |f(x)| \leq 7;
\]

Ответ: область определения функции не меняется, так как область определения функции \( f(x) \) остается тем же самым промежутком. Область значений функции \( |f(x)| \) изменяется на диапазон от 0 до 7:

\[
D(f) = [-10; 16], \quad E(f) = [0; 7].
\]

б) \( y = f(|x|) \)

Теперь рассмотрим функцию \( y = f(|x|) \). Здесь функция \( f(x) \) будет действовать на значении \( |x| \), то есть на абсолютной величине \( x \). Это означает, что для \( x \in [-10, 16] \) область определения функции \( f(|x|) \) изменится, поскольку абсолютное значение \( |x| \) не может быть меньше 0, и оно ограничено максимальным значением 16. Таким образом, область определения будет:

\[
-16 \leq x \leq 16;
\]

Область значений функции \( f(|x|) \) не может быть точно определена, так как она зависит от значений функции \( f(x) \), которые в данной задаче не заданы полностью. Таким образом, для области значений функции нужно больше информации о самой функции \( f(x) \). Поэтому мы пишем:

\[
E(f) = \text{неизвестно}.
\]

Ответ: область определения \( f(x) \) изменяется на \( [-16; 16] \), область значений \( E(f) \) не может быть точно определена.