Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 145 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество 2(a^2+ab+b^2)^2=a^4+b^4+(a+b)^4.
Доказать тождество:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2 = 2((a^2 + b^2)^2 + 2ab(a^2 + b^2) + (ab)^2) =
\]
\[
= 2(a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 2a^3b + 2ab^3 + a^2b^2) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + 3a^2b^2 + 2a^3b + 2ab^3 =
\]
\[
= a^4 + b^4 + (a^4 + b^4 + 6a^2b^2 + 4a^3b + 4ab^3) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + (a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 4a^3b + 4a^2b^2) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + ((a^2 + b^2)^2 + 4ab(a^2 + b^2)) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + (a + b)^4;
\]
Что и требовалось доказать.
Решим тождество шаг за шагом:
Исходное выражение:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2
\]
1. Раскроем квадрат:
\[
(a^2 + ab + b^2)^2 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)
\]
Используем распределительный закон (формула бинома):
\[
= a^2(a^2 + ab + b^2) + ab(a^2 + ab + b^2) + b^2(a^2 + ab + b^2)
\]
Теперь умножим каждый из членов:
\[
= a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot ab + a^2 \cdot b^2 + ab \cdot a^2 + ab \cdot ab +\]
\[ab \cdot b^2 + b^2 \cdot a^2 + b^2 \cdot ab + b^2 \cdot b^2
\]
Преобразуем:
\[
= a^4 + a^3b + a^2b^2 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + a^2b^2 + ab^3 + b^4
\]
Теперь объединим одинаковые члены:
\[
= a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4
\]
2. Умножаем на 2:
\[
2(a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4)
\]
Теперь умножим каждый член на 2:
\[
= 2a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 2b^4
\]
Ответ:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2 = 2a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 2b^4
\]
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.