Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 145 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество 2(a^2+ab+b^2)^2=a^4+b^4+(a+b)^4.
Доказать тождество:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2 = 2((a^2 + b^2)^2 + 2ab(a^2 + b^2) + (ab)^2) =
\]
\[
= 2(a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 2a^3b + 2ab^3 + a^2b^2) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + 3a^2b^2 + 2a^3b + 2ab^3 =
\]
\[
= a^4 + b^4 + (a^4 + b^4 + 6a^2b^2 + 4a^3b + 4ab^3) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + (a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 4a^3b + 4a^2b^2) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + ((a^2 + b^2)^2 + 4ab(a^2 + b^2)) =
\]
\[
= a^4 + b^4 + (a + b)^4;
\]
Что и требовалось доказать.
Решим тождество шаг за шагом:
Исходное выражение:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2
\]
1. Раскроем квадрат:
\[
(a^2 + ab + b^2)^2 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)
\]
Используем распределительный закон (формула бинома):
\[
= a^2(a^2 + ab + b^2) + ab(a^2 + ab + b^2) + b^2(a^2 + ab + b^2)
\]
Теперь умножим каждый из членов:
\[
= a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot ab + a^2 \cdot b^2 + ab \cdot a^2 + ab \cdot ab +\]
\[ab \cdot b^2 + b^2 \cdot a^2 + b^2 \cdot ab + b^2 \cdot b^2
\]
Преобразуем:
\[
= a^4 + a^3b + a^2b^2 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + a^2b^2 + ab^3 + b^4
\]
Теперь объединим одинаковые члены:
\[
= a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4
\]
2. Умножаем на 2:
\[
2(a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4)
\]
Теперь умножим каждый член на 2:
\[
= 2a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 2b^4
\]
Ответ:
\[ a^4 + b^4 + (a + b)^4;\]
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.