ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 138 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что многочлен x^3+ax^2+bx+c обращается в нуль при x=-5 и x=7. Найдите корни многочлена:

а) -x^3+ax^2-bx+c; б) x^3-ax^2+bx-c.

Даны корни уравнения:

\[
x^3 + ax^2 + bx + c = 0;
\]

\[
x_1 = -5, \quad x_2 = 7;
\]

а) \( -x^3 + ax^2 — bx + c = 0; \)
\[
(-x)^3 + a(-x)^2 + b(-x) + c = 0;
\]

\[
x_1 = -(-5) = 5, \quad x_2 = -7;
\]

Ответ: 5; -7.

б) \( x^3 — ax^2 + bx — c = 0; \)
\[
(-x)^3 — a(-x)^2 + b(-x) — c = 0;
\]

\[
x_1 = -(-5) = 5, \quad x_2 = -7;
\]

Ответ: 5; -7.

Задано уравнение:

Уравнение имеет вид:

\( x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \), и даны корни:

• \( x_1 = -5 \)
• \( x_2 = 7 \)

Наша задача — найти новые корни уравнений, полученных после изменения знаков у некоторого уравнения.

а) \( -x^3 + ax^2 — bx + c = 0 \):

1. Для начала подставим \( -x \) вместо \( x \) в исходное уравнение \( x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \), то есть рассматриваем функцию \( f(-x) \).

2. Подставляем \( -x \) в каждую часть исходного уравнения:

\[
(-x)^3 + a(-x)^2 + b(-x) + c = 0
\]

3. Теперь упростим выражение:

\[
(-x)^3 = -x^3, \quad a(-x)^2 = ax^2, \quad b(-x) = -bx
\]
Таким образом, уравнение примет вид:
\[
-x^3 + ax^2 — bx + c = 0
\]

4. Чтобы найти новые корни, нужно рассмотреть старые корни \( x_1 = -5 \) и \( x_2 = 7 \), но при подстановке \( -x \) они изменяются. В данном случае:

\[
x_1 = -(-5) = 5, \quad x_2 = -7
\]
Итак, новые корни уравнения \( -x^3 + ax^2 — bx + c = 0 \) — это \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -7 \).

Ответ: \( 5, -7 \).

б) \( x^3 — ax^2 + bx — c = 0 \):

1. Подставляем \( -x \) вместо \( x \) в уравнение \( x^3 — ax^2 + bx — c = 0 \), то есть рассматриваем уравнение \( f(-x) \).

2. Подставляем \( -x \) в каждую часть уравнения:

\[
(-x)^3 — a(-x)^2 + b(-x) — c = 0
\]

3. Упрощаем выражение:

\[
(-x)^3 = -x^3, \quad -a(-x)^2 = -ax^2, \quad b(-x) = -bx
\]
Таким образом, уравнение примет вид:
\[
-x^3 + ax^2 — bx — c = 0
\]

4. Как и в предыдущем пункте, подставляем старые корни \( x_1 = -5 \) и \( x_2 = 7 \), при этом \( x_1 = -(-5) = 5 \), а \( x_2 = -7 \), так что новые корни снова \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -7 \).

Ответ: \( 5, -7 \).