ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 135 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если функция y=f(x) возрастает на промежутке [a; b], то функция y=f(-x) убывает на промежутке [—b; —a].

Функция возрастает:
\[
y = f(x), \quad x \in [a; b];
\]

\textbf{Если} \( a \leq x_1 < x_2 \leq b \), \textbf{тогда:}
\[
f(x_1) < f(x_2), \quad x_1, x_2 \in [a; b];
\]

\[
-b \leq -x_2 < -x_1 \leq -a;
\]

\[
f(-(-x_1)) \leq f(-(-x_2));
\]

Что и требовалось доказать.

Дано: Функция \( y = f(x) \), при этом \( x \in [a; b] \), и функция возрастает на этом интервале. То есть, для любых \( x_1, x_2 \in [a; b] \), если \( a \leq x_1 < x_2 \leq b \), то выполняется неравенство:

1) \( f(x_1) < f(x_2) \)

Теперь, давайте рассмотрим следующее:

2) Изменение знаков у \( x_1 \) и \( x_2 \) с учетом отражения относительно оси \( x \) и применение функции на новом интервале:

• Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) лежат на интервале \( [a; b] \), тогда \( -b \leq -x_2 < -x_1 \leq -a \). Это означает, что при отражении значений на интервале \( [a; b] \), значения \( -x_2 \) и \( -x_1 \) попадают на интервал \( [-b; -a] \), причем \( -x_2 \) больше \( -x_1 \).

3) Теперь рассматриваем функцию \( f(-(-x_1)) \leq f(-(-x_2)) \), что будет верно, так как \( f(x) \) возрастает. Если \( x_1 \) меньше \( x_2 \), то по свойству возрастающей функции на интервале \( [a; b] \) будет выполнено \( f(x_1) < f(x_2) \), аналогично и для отрицательных значений \( -x_1 \) и \( -x_2 \).

Заключение: Мы доказали, что для функции, которая возрастает на интервале \( [a; b] \), выполнены следующие неравенства:

• Если \( a \leq x_1 < x_2 \leq b \), то \( f(x_1) < f(x_2) \).
• Для отраженных значений \( -b \leq -x_2 < -x_1 \leq -a \), мы также можем утверждать, что \( f(-(-x_1)) \leq f(-(-x_2)) \), так как функция возрастает.