ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 117 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

1/((x-1)(x-2))+1/((x-2)(x-3))+1/((x-3)(x-4))+1/((x-4)(x-5)).

Упростить выражение
\[
\frac{1}{(x — 1)(x — 2)} + \frac{1}{(x — 2)(x — 3)} + \frac{1}{(x — 3)(x — 4)} + \frac{1}{(x — 4)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{x — 3 + x — 1}{(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)} = \frac{x — 5 + x — 3}{(x — 3)(x — 4)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{2(x — 2)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} = \frac{2(x — 4)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{2(x — 5) + 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} = \frac{(x — 1)(x — 3)(x — 5)}{(x — 1)(x — 3)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{4}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{4}{x^2 — 6x + 5}.
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{1}{(x — 1)(x — 2)} + \frac{1}{(x — 2)(x — 3)} + \frac{1}{(x — 3)(x — 4)} + \frac{1}{(x — 4)(x — 5)} =
\]

Для удобства находим общий знаменатель всех дробей, который будет равен \((x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)\). Объединяя все дроби в одну, получаем:

\[
= \frac{(x — 3) + (x — 1)}{(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)} =\]

\[\frac{x — 3 + x — 1}{(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)} = \frac{2x — 4}{(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)}.
\]

Далее, сокращаем числитель и знаменатель:

\[
= \frac{2(x — 2)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)}.
\]

Теперь продолжаем упростить числитель:

\[
= \frac{2(x — 4)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)}.
\]

Далее, снова объединяем дроби:

\[
= \frac{2(x — 5) + 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} = \frac{(x — 1)(x — 3)(x — 5)}{(x — 1)(x — 3)(x — 5)}.
\]

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе, получаем:

\[
= \frac{4}{(x — 1)(x — 5)}.
\]

И, наконец, результат можно записать в виде квадратичной функции:

\[
= \frac{4}{x^2 — 6x + 5}.
\]