ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 117 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

1/((x-1)(x-2))+1/((x-2)(x-3))+1/((x-3)(x-4))+1/((x-4)(x-5)).

Упростить выражение
\[
\frac{1}{(x — 1)(x — 2)} + \frac{1}{(x — 2)(x — 3)} + \frac{1}{(x — 3)(x — 4)} + \frac{1}{(x — 4)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{x — 3 + x — 1}{(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)} = \frac{x — 5 + x — 3}{(x — 3)(x — 4)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{2(x — 2)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} = \frac{2(x — 4)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{2(x — 5) + 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} = \frac{(x — 1)(x — 3)(x — 5)}{(x — 1)(x — 3)(x — 5)} =
\]

\[
= \frac{4}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{4}{x^2 — 6x + 5}.
\]

Дано выражение:

\[
\frac{1}{(x — 1)(x — 2)} + \frac{1}{(x — 2)(x — 3)} + \frac{1}{(x — 3)(x — 4)} + \frac{1}{(x — 4)(x — 5)}
\]

Шаг 1: Приводим выражения к общему знаменателю:

Общий знаменатель будет равен произведению всех множителей:

\[
(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)
\]

Теперь выражаем каждую дробь с общим знаменателем:

\[
\frac{1}{(x — 1)(x — 2)} = \frac{(x — 3)(x — 4)(x — 5)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)}
\]
\[
\frac{1}{(x — 2)(x — 3)} = \frac{(x — 1)(x — 4)(x — 5)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)}
\]
\[
\frac{1}{(x — 3)(x — 4)} = \frac{(x — 1)(x — 2)(x — 5)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)}
\]
\[
\frac{1}{(x — 4)(x — 5)} = \frac{(x — 1)(x — 2)(x — 3)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)}
\]

Теперь складываем эти дроби:

\[
\frac{(x — 3)(x — 4)(x — 5) + (x — 1)(x — 4)(x — 5) + (x — 1)(x — 2)(x — 5) +\]

\[(x — 1)(x — 2)(x — 3)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)}
\]

Шаг 2: Упрощаем числитель:

Раскроем числители и упростим:

\[
(x — 3)(x — 4)(x — 5) + (x — 1)(x — 4)(x — 5) =\]

\[(x — 3 + x — 1)(x — 4)(x — 5)
\]
\[
(x — 2)(x — 5) + (x — 1)(x — 3)(x — 5) = (x — 5 + x — 3)(x — 3)(x — 5)
\]
\[
\frac{2(x — 2)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} = \frac{2(x — 4)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)}
\]

Шаг 3: Упрощаем дальше:

И в конце:

\[
\frac{2(x — 5) + 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 2)(x — 3)(x — 5)} = \frac{(x — 1)(x — 3)(x — 5)}{(x — 1)(x — 3)(x — 5)}
\]

Ответ: Упрощённое выражение:

\[
\frac{4}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{4}{x^2 — 6x + 5}
\]