ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 116 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки F(0; а) и прямой y=b, если: а) b < а; б) b > а.

Точки равноудалены

\[
y = b, \quad F(0; a);
\]
1) Расстояние до прямой:
\[
S = \sqrt{(y — b)^2} = |y — b|;
\]

2) Расстояние до точки:
\[
S = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — a)^2};
\]

\[
|y — b| = \sqrt{x^2 + (y — a)^2};
\]

\[
(y — b)^2 = x^2 + (y — a)^2;
\]

\[
-2by + b^2 = x^2 — 2ya + a^2;
\]

\[
2y(a — b) = x^2 + a^2 — b^2;
\]

\[
y = \frac{x^2}{2(a — b)} + \frac{a + b}{2}.
\]

Ответ:
\[
y = \frac{x^2}{2(a — b)} + \frac{a + b}{2}.
\]

Заданы точки, равноудаленные от прямой и точки:

\( y = b \), \( F(0; a) \)

1) Расстояние от точки до прямой:

Расстояние от точки \( (x, y) \) до прямой \( y = b \) выражается как абсолютное значение разницы между \( y \) и \( b \):

\[
S = \sqrt{(y — b)^2} = |y — b|
\]

2) Расстояние от точки до другой точки:

Расстояние от точки \( (x, y) \) до точки \( F(0, a) \) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в плоскости:

\[
S = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — a)^2}
\]

Теперь мы приравняем оба расстояния, так как точка \( (x, y) \) равноудалена как от прямой \( y = b \), так и от точки \( F(0, a) \):

\[
|y — b| = \sqrt{x^2 + (y — a)^2}
\]

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\[
(y — b)^2 = x^2 + (y — a)^2
\]

Раскрываем скобки с обеих сторон:

\[
(y — b)^2 = y^2 — 2by + b^2 \quad \text{и} \quad (y — a)^2 = y^2 — 2ay + a^2
\]

Теперь приравниваем полученные выражения:

\[
y^2 — 2by + b^2 = x^2 + y^2 — 2ay + a^2
\]

Убираем \( y^2 \) с обеих сторон:

\[
-2by + b^2 = x^2 — 2ay + a^2
\]

Переносим все слагаемые, содержащие \( y \), на одну сторону, а остальные на другую:

\[
-2by + 2ay = x^2 + a^2 — b^2
\]

Вынесем \( y \) за скобки:

\[
y(2a — 2b) = x^2 + a^2 — b^2
\]

Решим относительно \( y \):

\[
y = \frac{x^2}{2(a — b)} + \frac{a + b}{2}
\]

Ответ: Уравнение, описывающее точку, равноудалённую от прямой и точки:

\[
y = \frac{x^2}{2(a — b)} + \frac{a + b}{2}
\]