ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 115 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задайте функцию, график которой составляют все точки координатной плоскости, равноудалённые от точки F(0; 1) и прямой у=3.

Точки равноудалены:
\[ y = 3, \ F(0; 1) \]

1) Расстояние до прямой:
\[
S = \sqrt{(y-3)^2} = |y — 3|;
\]

2) Расстояние до точки:
\[
S = \sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2}; \quad |y-3| = \sqrt{x^2 + (y-1)^2};
\]

\[
(y-3)^2 = x^2 + (y-1)^2;
\]

\[
-6y + 9 = x^2 — 2y + 1;
\]

\[
4y = 8 — x^2, \quad y = 2 — \frac{x^2}{4}.
\]

Ответ: y = 2 — 1/4 x^2

Заданы точки, равноудаленные от прямой и точки:

\( y = 3 \), \( F(0; 1) \)

1) Расстояние от точки до прямой:

Расстояние от точки \( (x, y) \) до прямой \( y = 3 \) выражается как абсолютное значение разницы между \( y \) и 3:

\[
S = \sqrt{(y — 3)^2} = |y — 3|
\]

2) Расстояние от точки до другой точки:

Расстояние от точки \( (x, y) \) до точки \( F(0, 1) \) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в плоскости:

\[
S = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 1)^2}
\]

Поскольку точка \( F(0; 1) \) находится на оси \( y \), то мы подставляем это в уравнение.

3) Приравниваем расстояния:

Поскольку точка \( (x, y) \) равноудалена как от прямой, так и от точки, приравниваем выражения для расстояний:

\[
|y — 3| = \sqrt{x^2 + (y — 1)^2}
\]

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\[
(y — 3)^2 = x^2 + (y — 1)^2
\]

Раскроем скобки с обеих сторон:

\[
(y — 3)^2 = y^2 — 6y + 9 \quad \text{и} \quad (y — 1)^2 = y^2 — 2y + 1
\]

Теперь приравниваем полученные выражения:

\[
y^2 — 6y + 9 = x^2 + y^2 — 2y + 1
\]

Убираем \( y^2 \) с обеих сторон:

\[
-6y + 9 = x^2 — 2y + 1
\]

Переносим все слагаемые, содержащие \( y \), на одну сторону, а остальные на другую:

\[
-6y + 2y = x^2 — 1 — 9
\]

Упрощаем:

\[
-4y = -8 — x^2 \quad \Rightarrow \quad y = 2 — \frac{x^2}{4}
\]

Ответ: Уравнение, описывающее точку, равноудалённую от прямой и точки:

Ответ: y = 2 — 1/4 x^2