ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 114 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите уравнение геометрического места точек плоскости, равноудалённых от прямой y=-2 и точки F(0; 2).

Точки равноудалены: \(y = -2\), \(F(0; 2)\);

1) Расстояние до прямой:
\[
S = |y — (-2)| = |y + 2|;
\]

2) Расстояние до точки:
\[
S = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 2)^2};
\]

\[
|y + 2| = \sqrt{x^2 + (y — 2)^2};
\]

\[
(y + 2)^2 = x^2 + (y — 2)^2;
\]

\[
(y + 2)^2 — (y — 2)^2 = x^2;
\]

\[
8y = x^2, \, y = \frac{1}{8}x^2;
\]

Ответ: \(y = \frac{1}{8}x^2\).

Даны точки, равноудаленные от прямой и точки:

\( y = -2 \), \( F(0; 2) \)

1) Расстояние от точки до прямой:

Расстояние от точки до прямой \( y = -2 \) вычисляется по формуле:

\[
S = |y — (-2)| = |y + 2|
\]

Это абсолютное значение разницы между \( y \) и \( -2 \), что даёт расстояние от точки до прямой.

2) Расстояние от точки до другой точки:

Расстояние от точки \( (x, y) \) до точки \( F(0, 2) \) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в плоскости:

\[
S = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 2)^2}
\]

Так как \( F(0; 2) \) — это точка на оси \( y \), то мы получаем формулу для расстояния.

3) Приравниваем оба расстояния:

Мы знаем, что точка \( (x, y) \) равноудалена как от прямой \( y = -2 \), так и от точки \( F(0; 2) \). Поэтому приравниваем оба выражения для расстояний:

\[
|y + 2| = \sqrt{x^2 + (y — 2)^2}
\]

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\[
(y + 2)^2 = x^2 + (y — 2)^2
\]

Раскроем обе стороны:

\[
(y + 2)^2 — (y — 2)^2 = x^2
\]

Применяем формулу разности квадратов:

\[
\left( (y + 2) — (y — 2) \right) \cdot \left( (y + 2) + (y — 2) \right) = x^2
\]

Упрощаем:

\[
8y = x^2
\]

Теперь выражаем \( y \):

\[
y = \frac{1}{8}x^2
\]

Ответ: Уравнение, описывающее точку, равноудалённую от прямой и точки, будет:

\[
y = \frac{1}{8}x^2
\]