ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 113 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 12 см. Найдите катеты треугольника, при которых он имеет наибольшую плошадь.

Катеты равны \(a\) см и \(b\) см:
\[ a + b = 12, \, b = 12 — a; \]

1) Площадь треугольника:
\[
S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot a(12 — a);
\]

\[
S = 6a — 0,5a^2;
\]

2) Наибольшее значение:
\[
a_0 = -\frac{6}{2(-0,5)} = 6; \, b = 12 — 6 = 6;
\]

Ответ: 6 см и 6 см.

Заданы катеты прямоугольного треугольника:

Катеты равны \( a \) см и \( b \) см. Дано уравнение для суммы катетов:
\[
a + b = 12, \quad b = 12 — a.
\]

1) Площадь треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[
S = \frac{1}{2}ab
\]

Подставляем \( b = 12 — a \) в эту формулу:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a(12 — a) = 6a — 0,5a^2.
\]

2) Наибольшее значение площади:

Чтобы найти наибольшее значение площади, нужно найти экстремум функции площади. Для этого вычислим производную площади \( S(a) = 6a — 0,5a^2 \) по \( a \):

\[
\frac{dS}{da} = 6 — a.
\]

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти значение \( a \), при котором площадь максимальна:

\[
6 — a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 6.
\]

Теперь находим значение \( b \) при \( a = 6 \):

\[
b = 12 — a = 12 — 6 = 6.
\]

Ответ: Наибольшая площадь треугольника, когда \( a = 6 \) см и \( b = 6 \) см.