ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 10 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что функция y=f(x) является возрастающей на промежутке [a; b]. Докажите, что функция y=f(x)+n является возрастающей на этом промежутке.

Функция возрастает:
\( y = f(x), \, x \in [a; b] \);

1) Если \( x_1 < x_2 \), тогда:
\( f(x_1) < f(x_2) \);

\( f(x_1) + n < f(x_2) + n \);

2) Функция возрастает:
\( y = f(x) + n, \, x \in [a; b] \);

Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать, что функция возрастает.

1) Если \( y = f(x), \, x \in [a; b] \), и \( x_1 < x_2 \), тогда:

Мы знаем, что функция возрастает, если для любого \( x_1 < x_2 \) выполняется условие \( f(x_1) < f(x_2) \). То есть, если \( x_1 \) меньше \( x_2 \), то значение функции в точке \( x_1 \) меньше, чем в точке \( x_2 \).

Также, добавление постоянной \( n \) к функции не изменяет монотонности, так как добавление константы к обеим частям неравенства не меняет его справедливости. То есть:

• \( f(x_1) + n < f(x_2) + n \);

Таким образом, функция остаётся возрастать, и это подтверждает монотонность функции на интервале \( [a; b] \).

2) Функция возрастает: \( y = f(x) + n, \, x \in [a; b] \).

Так как добавление постоянной \( n \) к функции \( f(x) \) не влияет на её монотонность, функция \( y = f(x) + n \) также будет возрастать на интервале \( [a; b] \). То есть, если функция \( f(x) \) возрастает, то и \( f(x) + n \) также будет возрастать, так как добавление константы не влияет на порядок значений функции.

Ответ: Функция \( y = f(x) + n \), \( x \in [a; b] \), возрастает, если \( f(x) \) возрастает на этом интервале.