ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 995 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение
\[x^2 + 2ax + a^2 — 4 = 0\]
имеет два корня, принадлежащие промежутку \((-6; 6)\)?

Ответ: \(-4 < a < 4\).

Дано уравнение:

x² + 2ax + a² — 4 = 0

Необходимо найти такие значения a, чтобы оба корня уравнения принадлежали промежутку (-6; 6).

Шаг 1: Дискриминант

Вычислим дискриминант:

D = b² — 4ac = (2a)² — 4 ⋅ 1 ⋅ (a² — 4)

D = 4a² — 4a² + 16 = 16

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2: Формулы корней

Корни уравнения находятся по формуле:

x₁ = (-2a + 4) / 2 = -a + 2

x₂ = (-2a — 4) / 2 = -a — 2

Шаг 3: Условия принадлежности корней промежутку (-6; 6)

Для корня x₁ = -a + 2:

-6 < -a + 2 < 6

Решим двойное неравенство:

-6 — 2 < -a < 6 — 2

-8 < -a < 4

4 > a > -8

Для корня x₂ = -a — 2:

-6 < -a — 2 < 6

Решим двойное неравенство:

-6 + 2 < -a < 6 + 2

-4 < -a < 8

-4 < a < 4

Шаг 4: Объединение условий

Объединяем результаты:

-4 < a < 4

Ответ

Значения a, при которых оба корня принадлежат промежутку (-6; 6):

-4 < a < 4