ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 99 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:

а)
\[
\frac{2a + b}{2a^2 — ab} — \frac{16a}{4a^2 — b^2} — \frac{2a — b}{2a^2 + ab}
\]

б)
\[
\frac{1}{(a — 3)^2} — \frac{2}{a^2 — 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}
\]

в)
\[
\frac{x — 2}{x^2 + 2x + 4} — \frac{6x}{x^3 — 8} + \frac{1}{x — 2}
\]

г)
\[
\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} — \frac{3}{a — 1}
\]

(а)

\[
\frac{-8}{2a+b}
\]

(б)

\[
\frac{36}{a^4 — 18a^2 + 81}
\]

(в)

\[
\frac{2x-4}{x^2+2x+4}.
\]

(г)

\[
\frac{1}{a — 1}
\]

(a):
Условие:
\[
\frac{2a+b}{2a^2-ab} — \frac{16a}{4a^2-b^2} — \frac{2a-b}{2a^2+ab}
\]

Решение:
1. Приводим дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{2a+b}{a(2a+b)(2a-b)} — \frac{16a}{a(2a+b)(2a-b)} — \frac{2a-b}{a(2a+b)(2a-b)}
\]
2. Объединяем дроби:
\[
\frac{(2a+b) — 16a — (2a-b)}{a(2a+b)(2a-b)}
\]
3. Упрощаем числитель:
\[
\frac{-8a}{a(2a+b)(2a-b)}
\]
4. Сокращаем:
\[
\frac{-8}{2a+b}
\]

Ответ:
\[
\frac{-8}{2a+b}
\]

(б):
Условие:
\[
\frac{1}{(a-3)^2} — \frac{2}{a^2-9} + \frac{1}{(a+3)^2}
\]

Решение:
1. Раскладываем \( a^2-9 \) на множители:
\[
a^2-9 = (a-3)(a+3)
\]
2. Приводим к общему знаменателю \((a-3)^2(a+3)^2\):
\[
\frac{(a+3)^2 — 2(a-3)(a+3) + (a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}
\]
3. Раскрываем скобки в числителе:
\[
(a+3)^2 — 2(a^2-9) + (a-3)^2 = a^2 + 6a + 9 — 2a^2 + 18 + a^2 — 6a + 9
\]
4. Упрощаем числитель:
\[
\frac{36}{(a-3)^2(a+3)^2}
\]
5. Заменяем знаменатель на \((a^2-9)^2\):
\[
\frac{36}{a^4 — 18a^2 + 81}
\]

Ответ:
\[
\frac{36}{a^4 — 18a^2 + 81}
\]

(в)

Условие задачи (в):
\[
\frac{x-2}{x^2+2x+4} — \frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{1}{x-2}
\]

Решение:

1. Приводим к общему знаменателю \((x-2)(x^2+2x+4)\):
\[
\frac{(x-2)}{x^2+2x+4} = \frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}
\]
\[
\frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} \quad \text{(знаменатель уже общий).}
\]
\[
\frac{1}{x-2} = \frac{(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}.
\]

2. Объединяем дроби:
\[
\frac{(x-2)^2 — 6x + (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}.
\]

3. Раскрываем скобки в числителе:
\[
(x-2)^2 = x^2 — 4x + 4.
\]
Подставляем:
\[
x^2 — 4x + 4 — 6x + x^2 + 2x + 4.
\]

4. Складываем подобные члены:
\[
(x^2 + x^2) + (-4x — 6x + 2x) + (4 + 4) = 2x^2 — 8x + 8.
\]

5. Числитель можно вынести за скобки:
\[
2(x^2 — 4x + 4).
\]
Замечаем, что \(x^2 — 4x + 4 = (x-2)^2\), поэтому:
\[
2(x-2)^2.
\]

6. Сокращаем \((x-2)^2\) в числителе и знаменателе:
\[
\frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}.
\]

Ответ:
\[
\frac{2x-4}{x^2+2x+4}.
\]

(г):
\[
\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} — \frac{3}{a — 1}
\]

Решение:

1. Раскладываем знаменатели на множители:
\[
a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)
\]

2. Приводим к общему знаменателю \((a — 1)(a^2 + a + 1)\):
\[
\frac{2a^2 + 7a + 3}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{(1 — 2a)(a — 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)}
\]

3. Объединяем дроби:
\[
\frac{(2a^2 + 7a + 3) — (1 — 2a)(a — 1) — 3(a^2 + a + 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)}
\]

4. Раскрываем скобки в числителе:

— Раскрываем \((1 — 2a)(a — 1)\):
\[
(1 — 2a)(a — 1) = a — 1 — 2a^2 + 2a = -2a^2 + 3a — 1
\]

— Раскрываем \(3(a^2 + a + 1)\):
\[
3(a^2 + a + 1) = 3a^2 + 3a + 3
\]

Подставляем всё в числитель:
\[
2a^2 + 7a + 3 — (-2a^2 + 3a — 1) — (3a^2 + 3a + 3)
\]

5. Упрощаем числитель:

Сначала убираем скобки:
\[
2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 — 3a + 1 — 3a^2 — 3a — 3
\]

Складываем подобные члены:
\[
(2a^2 + 2a^2 — 3a^2) + (7a — 3a — 3a) + (3 + 1 — 3)
\]
\[
= a^2 + a + 1
\]

6. Числитель и знаменатель сокращаются:
\[
\frac{a^2 + a + 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{1}{a — 1}
\]

Ответ:
\[
\frac{1}{a — 1}
\]