ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 99 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:

а)
\[
\frac{2a + b}{2a^2 — ab} — \frac{16a}{4a^2 — b^2} — \frac{2a — b}{2a^2 + ab}
\]

б)
\[
\frac{1}{(a — 3)^2} — \frac{2}{a^2 — 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}
\]

в)
\[
\frac{x — 2}{x^2 + 2x + 4} — \frac{6x}{x^3 — 8} + \frac{1}{x — 2}
\]

г)
\[
\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} — \frac{3}{a — 1}
\]

а)

$\dfrac{-8}{2a+b}$

б)

$\dfrac{36}{(a-3)^2(a+3)^2}$

в)

$\dfrac{2(x-2)}{x^2+2x+4}$

г)

$\dfrac{1}{a-1}$

а)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{2a+b}{2a^2-ab} — \frac{16a}{4a^2-b^2} — \frac{2a-b}{2a^2+ab}
\]

Разложим знаменатели:
— \(2a^2 — ab = a(2a-b)\)
— \(4a^2 — b^2 = (2a-b)(2a+b)\) — разность квадратов
— \(2a^2 + ab = a(2a+b)\)

Общий знаменатель: \(a(2a-b)(2a+b)\)

Приведём к общему знаменателю:
\[
\frac{(2a+b)(2a+b)}{a(2a-b)(2a+b)} — \frac{16a \cdot a}{a(2a-b)(2a+b)} — \frac{(2a-b)(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)}
\]

Раскроем скобки:
— \((2a+b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2\)
— \(16a^2\)
— \((2a-b)^2 = 4a^2 — 4ab + b^2\)

Числитель:
\[
(4a^2 + 4ab + b^2) — 16a^2 — (4a^2 — 4ab + b^2)
\]

Раскрываем скобки и приводим подобные:
\[
(4a^2 + 4ab + b^2) — 16a^2 — 4a^2 + 4ab — b^2 = -16a^2 + 8ab
\]

Вынесем общий множитель:
\[
-8a(2a- b)
\]

Итак, итоговая дробь:
\[
\frac{-8a(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)}
\]

Сократим на \(a(2a-b)\):
\[
\frac{-8}{2a+b}
\]

б)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{1}{(a-3)^2} — \frac{2}{a^2-9} + \frac{1}{(a+3)^2}
\]

Разложим \(a^2-9\):
\[
a^2-9 = (a-3)(a+3)
\]

Общий знаменатель: \((a-3)^2(a+3)^2\)

Приведём к общему знаменателю:
\[
\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2} — \frac{2(a-3)(a+3)}{(a-3)^2(a+3)^2} + \frac{(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}
\]

Числитель:
\[
(a+3)^2 — 2(a-3)(a+3) + (a-3)^2
\]

Раскроем скобки:
— \((a+3)^2 = a^2 + 6a + 9\)
— \((a-3)(a+3) = a^2 — 9\)
— \((a-3)^2 = a^2 — 6a + 9\)
Подставляем:
\[
(a^2 + 6a + 9) — 2(a^2-9) + (a^2-6a+9)
\]
\[
= a^2 + 6a + 9 — 2a^2 + 18 + a^2 — 6a + 9
\]
\[
= (a^2 — 2a^2 + a^2) + (6a — 6a) + (9+18+9)
\]
\[
= 0a + 36
\]

Итак, числитель \(= 36\).

Дробь:
\[
\frac{36}{(a-3)^2(a+3)^2}
\]

в)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{x-2}{x^2+2x+4} — \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2}
\]

Разложим знаменатель:
\[
x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)
\]

Общий знаменатель: \((x-2)(x^2+2x+4)\)

Приводим к общему знаменателю:
\[
\frac{(x-2)^2 — 6x + (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}
\]

Раскрываем скобки:
\[
(x-2)^2 = x^2 — 4x + 4
\]
Подставляем:
\[
(x^2 — 4x + 4) — 6x + (x^2 + 2x + 4)
\]
\[
= 2x^2 — 8x + 8
\]
\[
= 2(x-2)^2
\]

Сокращаем:
\[
\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}
\]

г)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} — \frac{1-2a}{a^2+a+1} — \frac{3}{a-1}
\]

Разложим знаменатель:
\[
a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)
\]

Общий знаменатель: \((a-1)(a^2+a+1)\)

Приводим к общему знаменателю:
\[
\frac{(2a^2+7a+3) — (1-2a)(a-1) — 3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}
\]

Раскрываем скобки:
\[
(2a^2+7a+3) — (-2a^2+3a-1) — (3a^2+3a+3)
\]
\[
= a^2 + a + 1
\]

Сокращаем:
\[
\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a-1}
\]