ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 972 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: Скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Условие: Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение:

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна x км/ч.

• Скорость лодки по течению: x + 3 км/ч.
• Скорость лодки против течения: x — 3 км/ч.

Общее время движения лодки составило 5 ч 20 мин, что равно \( 5 \frac{20}{60} = \frac{16}{3} \) ч.

Составим уравнение для времени движения лодки:

\[
\frac{30}{x + 3} + \frac{30}{x — 3} = \frac{16}{3}
\]

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{30(x — 3) + 30(x + 3)}{(x + 3)(x — 3)} = \frac{16}{3}
\]

Раскроем скобки в числителе:

\[
\frac{30x — 90 + 30x + 90}{x^2 — 9} = \frac{16}{3}
\]

Сократим подобные члены:

\[
\frac{60x}{x^2 — 9} = \frac{16}{3}
\]

Шаг 2: Умножение на знаменатели

Умножим обе части уравнения на \(3(x^2 — 9)\), чтобы избавиться от дробей:

\[
3 \cdot 60x = 16 \cdot (x^2 — 9)
\]

Раскроем скобки:

\[
180x = 16x^2 — 144
\]

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

\[
16x^2 — 180x — 144 = 0
\]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Разделим уравнение на 4 для упрощения:

\[
4x^2 — 45x — 36 = 0
\]

Рассчитаем дискриминант:

\[
D = b^2 — 4ac = (-45)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601
\]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня:

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 + 51}{8} = 12
\]

\[
x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 — 51}{8} = -\frac{3}{4}
\]

Отрицательное значение \(x_2\) не подходит по смыслу задачи.

Ответ:

Скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.