ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 897 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) \( 9a + \frac{1}{a} \geq 6 \) при \( a > 0 \);
б) \( 25b + \frac{1}{b} \leq -10 \) при \( b < 0 \).

а) \( 9a + \frac{1}{a} \geq 6 \) при \( a > 0 \)
\( 9a + \frac{1}{a} — 6 \geq 0 \)
\[
\frac{9a^2 + 1 — 6a}{a} \geq 0
\]
\[
\frac{(3a — 1)^2}{a} \geq 0
\]
Это верно при любом \( a > 0 \).

б) \( 25b + \frac{1}{b} \leq -10 \) при \( b < 0 \)
\[
25b + \frac{1}{b} + 10 \leq 0
\]
\[
\frac{25b^2 + 1 + 10b}{b} \leq 0
\]
\[
\frac{(5b + 1)^2}{b} \leq 0
\]
Это верно при любом \( b < 0 \).

а) Доказать, что \( 9a + \frac{1}{a} \geq 6 \) при \( a > 0 \)

Изначальное неравенство:

\( 9a + \frac{1}{a} \geq 6 \)

Переносим \( 6 \) влево:

\( 9a + \frac{1}{a} — 6 \geq 0 \)

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{9a^2 + 1 — 6a}{a} \geq 0 \)

Числитель \( 9a^2 — 6a + 1 \) можно представить в виде полного квадрата:

\( \frac{(3a — 1)^2}{a} \geq 0 \)

Дробь больше либо равна нулю, так как:

• \( (3a — 1)^2 \geq 0 \) для любых значений \( a \);
• \( a > 0 \), следовательно, знаменатель положителен.

Таким образом, неравенство выполнено при \( a > 0 \).

б) Доказать, что \( 25b + \frac{1}{b} \leq -10 \) при \( b < 0 \)

Изначальное неравенство:

\( 25b + \frac{1}{b} \leq -10 \)

Переносим \( -10 \) влево:

\( 25b + \frac{1}{b} + 10 \leq 0 \)

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{25b^2 + 1 + 10b}{b} \leq 0 \)

Числитель \( 25b^2 + 10b + 1 \) можно представить в виде полного квадрата:

\( \frac{(5b + 1)^2}{b} \leq 0 \)

Дробь меньше либо равна нулю, так как:

• \( (5b + 1)^2 \geq 0 \) для любых значений \( b \);
• \( b < 0 \), следовательно, знаменатель отрицателен.

Таким образом, неравенство выполнено при \( b < 0 \).