Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 846 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь \( \frac{a}{b} \), где \( a \) и \( b \) — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь \( \frac{a}{b} \). (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один — для случая \( a < b \), а другой — для случая \( a > b \).
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
\( \frac{a}{b} \), \( a, b \) — натуральные числа.
1) Если \( a < b \):
Пусть \( a = 4 \), \( b = 6 \), тогда \( \frac{4}{6} \) — исходная дробь, а
\[
\frac{4+1}{6+1} = \frac{5}{7}
\]
— увеличенная дробь.
\[
\frac{4}{6} — \frac{5}{7} = \frac{28 — 30}{42} = \frac{-2}{42} = -\frac{1}{21} < 0
\]
Значит, дробь уменьшится.
2) Если \( a > b \):
Пусть \( a = 6 \), \( b = 4 \), тогда \( \frac{6}{4} \) — исходная дробь, а
\[
\frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5}
\]
— увеличенная дробь.
\[
\frac{6}{4} — \frac{7}{5} = \frac{30 — 28}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} > 0
\]
Значит, дробь увеличится.
Условие
Даны натуральные числа \(a\) и \(b\). Рассмотрим дробь \( \frac{a}{b} \). Нужно определить, как изменится дробь, если к числителю и знаменателю прибавить по 1.
Рассмотрим случай, когда \(a < b\)
Пусть \(a = 4\), \(b = 6\). Тогда:
Исходная дробь: \( \frac{4}{6} \)
Увеличенная дробь: \( \frac{4+1}{6+1} = \frac{5}{7} \)
Вычислим разность между исходной и увеличенной дробями:
Так как разность отрицательна (\(-\frac{1}{21} < 0\)), дробь уменьшилась.
Рассмотрим случай, когда \(a > b\)
Пусть \(a = 6\), \(b = 4\). Тогда:
Исходная дробь: \( \frac{6}{4} \)
Увеличенная дробь: \( \frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5} \)
Вычислим разность между исходной и увеличенной дробями:
Так как разность положительна (\(\frac{1}{10} > 0\)), дробь увеличилась.
Вывод
1. Если \(a < b\), то дробь уменьшается при добавлении 1 к числителю и знаменателю.
2. Если \(a > b\), то дробь увеличивается при добавлении 1 к числителю и знаменателю.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.