ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 846 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь \( \frac{a}{b} \), где \( a \) и \( b \) — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь \( \frac{a}{b} \). (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один — для случая \( a < b \), а другой — для случая \( a > b \).
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

Краткий ответ:

\( \frac{a}{b} \), \( a, b \) — натуральные числа.

1) Если \( a < b \):
Пусть \( a = 4 \), \( b = 6 \), тогда \( \frac{4}{6} \) — исходная дробь, а
\[
\frac{4+1}{6+1} = \frac{5}{7}
\]
— увеличенная дробь.
\[
\frac{4}{6} — \frac{5}{7} = \frac{28 — 30}{42} = \frac{-2}{42} = -\frac{1}{21} < 0
\]
Значит, дробь уменьшится.

2) Если \( a > b \):
Пусть \( a = 6 \), \( b = 4 \), тогда \( \frac{6}{4} \) — исходная дробь, а
\[
\frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5}
\]
— увеличенная дробь.
\[
\frac{6}{4} — \frac{7}{5} = \frac{30 — 28}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} > 0
\]
Значит, дробь увеличится.

Подробный ответ:

Условие

Даны натуральные числа \(a\) и \(b\). Рассмотрим дробь \( \frac{a}{b} \). Нужно определить, как изменится дробь, если к числителю и знаменателю прибавить по 1.

Рассмотрим случай, когда \(a < b\)

Пусть \(a = 4\), \(b = 6\). Тогда:

Исходная дробь: \( \frac{4}{6} \)

Увеличенная дробь: \( \frac{4+1}{6+1} = \frac{5}{7} \)

Вычислим разность между исходной и увеличенной дробями:

\( \frac{4}{6} — \frac{5}{7} = \frac{4 \cdot 7 — 5 \cdot 6}{6 \cdot 7} = \frac{28 — 30}{42} = \frac{-2}{42} = -\frac{1}{21} \)

Так как разность отрицательна (\(-\frac{1}{21} < 0\)), дробь уменьшилась.

Рассмотрим случай, когда \(a > b\)

Пусть \(a = 6\), \(b = 4\). Тогда:

Исходная дробь: \( \frac{6}{4} \)

Увеличенная дробь: \( \frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5} \)

Вычислим разность между исходной и увеличенной дробями:

\( \frac{6}{4} — \frac{7}{5} = \frac{6 \cdot 5 — 7 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{30 — 28}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \)

Так как разность положительна (\(\frac{1}{10} > 0\)), дробь увеличилась.

Вывод

1. Если \(a < b\), то дробь уменьшается при добавлении 1 к числителю и знаменателю.

2. Если \(a > b\), то дробь увеличивается при добавлении 1 к числителю и знаменателю.

Оцени решение