ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 831 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?

Первая машина: 10 минут.
Вторая машина: 15 минут.

1. При совместной работе двух машин ксерокопия снимается за 6 минут.
2. Если половину работы выполняет первая машина, а вторую половину — вторая машина, то весь процесс занимает 12,5 минут.

Требуется найти время, за которое каждая машина может выполнить работу в одиночку.

Шаг 1. Введение обозначений
Пусть:
— Производительность первой машины = \( x \) (доля работы за 1 минуту).
— Производительность второй машины = \( \frac{1}{6} — x \) (так как их совместная производительность равна \( \frac{1}{6} \)).

Время, за которое каждая машина выполняет половину работы:
— Первая машина: \( \frac{0,5}{x} = \frac{1}{2x} \).
— Вторая машина: \( \frac{0,5}{\frac{1}{6} — x} = \frac{1}{2 \left(\frac{1}{6} — x\right)} \).

Шаг 2. Составление уравнения
По условию задачи, сумма времени, затраченного обеими машинами на выполнение половины работы, равна 12,5 минут:
\[
\frac{1}{2x} + \frac{1}{2 \left(\frac{1}{6} — x\right)} = 12,5
\]

Упростим это уравнение:
\[
\frac{1}{2x} + \frac{1}{\frac{2}{6} — 2x} = 12,5
\]

Приведём дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{1}{2x} + \frac{1}{\frac{1}{3} — 2x} = 12,5
\]

Шаг 3. Упрощение уравнения
Обозначим знаменатели дробей:
— \( 2x \) — знаменатель первой дроби.
— \( \frac{1}{3} — 2x \) — знаменатель второй дроби.

Общий знаменатель:
\[
\text{Общий знаменатель} = 2x \cdot \left(\frac{1}{3} — 2x\right)
\]

Сложим дроби:
\[
\frac{\frac{1}{3} — 2x + 2x}{2x \cdot \left(\frac{1}{3} — 2x\right)} = 12,5
\]

Числитель упрощается до:
\[
\frac{1}{3}
\]

Таким образом, уравнение принимает вид:
\[
\frac{\frac{1}{3}}{2x \cdot \left(\frac{1}{3} — 2x\right)} = 12,5
\]

Шаг 4. Решение уравнения
Переносим знаменатель в правую часть:
\[
\frac{1}{3} = 12,5 \cdot 2x \cdot \left(\frac{1}{3} — 2x\right)
\]

Раскрываем скобки:
\[
\frac{1}{3} = 25x \cdot \left(\frac{1}{3} — 2x\right)
\]

Упрощаем:
\[
\frac{1}{3} = \frac{25x}{3} — 50x^2
\]

Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[
1 = 25x — 150x^2
\]

Шаг 5. Приведение уравнения к стандартному виду
Переносим всё в одну часть:
\[
150x^2 — 25x + 1 = 0
\]

Шаг 6. Решение квадратного уравнения
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}
\]

Подставляем коэффициенты:
— \( a = 150 \)
— \( b = -25 \)
— \( c = 1 \)

Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-25)^2 — 4 \cdot 150 \cdot 1 = 625 — 600 = 25
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{25}}{2 \cdot 150} = \frac{25 + 5}{300} = \frac{30}{300} = \frac{1}{10}
\]

\[
x_2 = \frac{-(-25) — \sqrt{25}}{2 \cdot 150} = \frac{25 — 5}{300} = \frac{20}{300} = \frac{1}{15}
\]

Шаг 7. Проверка корней
1. Если \( x = \frac{1}{10} \), то время работы первой машины:
\[
t_1 = \frac{1}{x} = 10 \, \text{минут}.
\]
Время работы второй машины:
\[
t_2 = \frac{1}{\frac{1}{6} — x} = \frac{1}{\frac{1}{6} — \frac{1}{10}} = 15 \, \text{минут}.
\]

2. Если \( x = \frac{1}{15} \), то время работы первой машины:
\[
t_1 = \frac{1}{x} = 15 \, \text{минут}.
\]
Время работы второй машины:
\[
t_2 = \frac{1}{\frac{1}{6} — x} = \frac{1}{\frac{1}{6} — \frac{1}{15}} = 10 \, \text{минут}.
\]

Ответ:
Время работы каждой машины:
— Первая машина: 10 минут
— Вторая машина: 15 минут