ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 830 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

— Второй слесарь: 20 часов.
— Первый слесарь: 25 часов.

Пусть второй слесарь выполняет работу за \( x \) часов, тогда первый слесарь выполняет ту же работу за \( x + 5 \) часов.

За 1 час работы:
— Второй слесарь выполняет \( \frac{1}{x} \) части работы.
— Первый слесарь выполняет \( \frac{1}{x+5} \) части работы.

По условию задачи:
1. Первый слесарь работал 1 час, выполнив \( \frac{1}{x+5} \) части работы.
2. Затем оба слесаря работали вместе 4 часа, выполнив \( 4 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right) \) части работы.

Суммарно они выполнили 40% заказа, то есть \( 0.4 \) от всей работы.

Составим уравнение:
\[
\frac{1}{x+5} + 4 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right) = 0.4
\]

Решение уравнения:

1. Раскроем скобки:
\[
\frac{1}{x+5} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x+5} = 0.4
\]

2. Приведём подобные:
\[
\frac{1}{x+5} + \frac{4}{x+5} + \frac{4}{x} = 0.4
\]
\[
\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = 0.4
\]

3. Умножим на \( x(x+5) \), чтобы избавиться от дробей:
\[
5x + 4(x+5) = 0.4x(x+5)
\]

4. Раскроем скобки:
\[
5x + 4x + 20 = 0.4x^2 + 2x
\]

5. Приведём всё к общему виду:
\[
0.4x^2 + 2x — 9x — 20 = 0
\]
\[
0.4x^2 — 7x — 20 = 0
\]

Решение квадратного уравнения:

Уравнение:
\[
0.4x^2 — 7x — 20 = 0
\]

1. Найдём дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 0.4 \cdot (-20)
\]
\[
D = 49 + 32 = 81
\]

2. Найдём корни уравнения:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]
\[
x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 0.4}
\]
\[
x_{1,2} = \frac{7 \pm 9}{0.8}
\]

— Первый корень:
\[
x_1 = \frac{7 + 9}{0.8} = \frac{16}{0.8} = 20
\]

— Второй корень:
\[
x_2 = \frac{7 — 9}{0.8} = \frac{-2}{0.8} =\]

\[-2.5 \, (\text{не подходит, так как время не может быть отрицательным}).
\]

Ответ:

— Второй слесарь выполняет работу за 20 часов.
— Первый слесарь выполняет работу за \( 20 + 5 = 25 \) часов.

Проверка:

1. Первый слесарь за 1 час выполняет \( \frac{1}{25} \), а второй — \( \frac{1}{20} \).
2. За 1 час первый слесарь выполнил:
\[
\frac{1}{25} = 0.04
\]
3. За 4 часа оба слесаря выполнили:
\[
4 \cdot \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{25} \right) = 4 \cdot \left( 0.05 + 0.04 \right) = 4 \cdot 0.09 = 0.36
\]
4. Сумма:
\[
0.04 + 0.36 = 0.4 \, (\text{условие выполнено}).
\]

Итоговый ответ:
20 часов — второй слесарь.
25 часов — первый слесарь.