ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 827 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано \( \frac{2}{3} \) поля.
За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым?

Первый трактор — 10 дней, второй трактор — 15 дней.

За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано \( \frac{2}{3} \) поля.
Первый трактор вспахивает поле за \( x \) дней, а второй трактор — за \( x + 5 \) дней.
Нужно найти, за сколько дней каждый трактор вспахивает поле.

Шаг 1. Производительность тракторов
— Производительность первого трактора за 1 день:
\[
\frac{1}{x}
\]
— Производительность второго трактора за 1 день:
\[
\frac{1}{x+5}
\]

Шаг 2. Совместная работа
За 4 дня трактора вспахали \( \frac{2}{3} \) поля. Тогда их суммарная производительность равна:
\[
4 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right) = \frac{2}{3}
\]

Шаг 3. Преобразование уравнения
Раскроем скобки:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{1}{6}
\]

Приведем к общему знаменателю:
\[
\frac{x+5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}
\]

Упростим:
\[
\frac{2x+5}{x(x+5)} = \frac{1}{6}
\]

Шаг 4. Умножение на знаменатели
Умножим обе части уравнения на \( 6x(x+5) \):
\[
6(2x + 5) = x(x + 5)
\]

Раскроем скобки:
\[
12x + 30 = x^2 + 5x
\]

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
x^2 — 7x — 30 = 0
\]

Шаг 5. Решение квадратного уравнения
Рассчитаем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169
\]

Найдем корни:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = 10
\]
\[
x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 — 13}{2} = -3
\]

Отрицательный корень (\( x_2 = -3 \)) не подходит по условию.

Шаг 6. Ответ
Первый трактор вспахивает поле за \( 10 \) дней, второй трактор — за \( 10 + 5 = 15 \) дней.

Итог:
Ответ:
Первый трактор — 10 дней, второй трактор — 15 дней.