ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 819 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на 4 1/2 ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и В.

Из двух городов A и B одновременно выходят два автомобиля и встречаются через 5 часов.
Скорость автомобиля, выходящего из A, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля.
Если бы первый автомобиль вышел из A на 4,5 часа раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от B.
Найти расстояние между городами A и B.

Решение

Обозначения

• Скорость первого автомобиля — x км/ч.
• Скорость второго автомобиля — x + 10 км/ч.
• Расстояние между городами — S км.

Составление уравнения

Автомобили встречаются через 5 часов, следовательно:

5x + 5(x + 10) = S

Упростим:

5x + 5x + 50 = S

S = 10x + 50

По второму условию, если первый автомобиль вышел на 4,5 часа раньше, то встреча произошла бы в 150 км от B:

Время движения первого автомобиля:

t₁ = 4,5 + (S — 150) / x

Время движения второго автомобиля:

t₂ = 150 / (x + 10)

Так как автомобили встретились:

t₁ = t₂

Подставим значения:

4,5 + (S — 150) / x = 150 / (x + 10)

Подставим S = 10x + 50:

4,5 + (10x + 50 — 150) / x = 150 / (x + 10)

Упростим:

4,5 + (10x — 100) / x = 150 / (x + 10)

Приведение к общему знаменателю

Умножим обе части на x(x + 10), чтобы избавиться от знаменателей:

4,5x(x + 10) + (10x — 100)(x + 10) = 150x

Раскроем скобки:

4,5x² + 45x + 10x² — 100x + 1000 = 150x

Объединим подобные:

5,5x² — 195x — 1000 = 0

Решение квадратного уравнения

Коэффициенты:

• a = 5,5
• b = -195
• c = -1000

Дискриминант:

D = b² — 4ac = (-195)² — 4 * 5,5 * (-1000)

D = 38025 + 22000 = 60025

Корни уравнения:

x₁, x₂ = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (195 + 245) / (2 * 5,5) = 40

x₂ = (195 — 245) / (2 * 5,5) = -4,55

Отрицательный корень не подходит по условию задачи, следовательно:

x = 40

Нахождение расстояния

Скорость второго автомобиля:

x + 10 = 50 км/ч

Расстояние между городами:

S = 10x + 50 = 10 * 40 + 50 = 450 км

Ответ: 450 км

Задача: Из двух городов A и B одновременно выходят два автомобиля и встречаются через 5 часов. Скорость автомобиля, выходящего из A, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из A на 4,5 часа раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от города B. Найдите расстояние между городами A и B.

Решение:

Обозначения:

• Скорость первого автомобиля — \( x \) км/ч;
• Скорость второго автомобиля — \( x + 10 \) км/ч;
• Расстояние между городами — \( S \) км.

Шаг 1: Составим уравнение для первой ситуации:

Автомобили встречаются через 5 часов. Время, которое каждый автомобиль затратил на путь, равно 5 часов. Таким образом, расстояние \( S \) можно выразить как сумму расстояний, которые каждый автомобиль проехал за 5 часов.

Для первого автомобиля: \( 5x \), для второго автомобиля: \( 5(x + 10) \).

Составим уравнение:

\[
5x + 5(x + 10) = S
\]

Упростим выражение:

\[
5x + 5x + 50 = S
\]

\[
S = 10x + 50
\]

Шаг 2: Вторая ситуация:

Если бы первый автомобиль выехал на 4,5 часа раньше, то встреча произошла бы на расстоянии 150 км от города B. Таким образом, расстояние, которое проехал первый автомобиль, будет равно \( S — 150 \), а второй — 150 км.

Время движения первого автомобиля на пути к встрече:

\( t_1 = 4.5 + \frac{S — 150}{x}
\)

Время движения второго автомобиля:

\( t_2 = \frac{150}{x + 10}
\)

Так как автомобили встретились, то \( t_1 = t_2 \), подставим уравнение:

\[
4.5 + \frac{S — 150}{x} = \frac{150}{x + 10}
\]

Шаг 3: Подставляем \( S = 10x + 50 \) в уравнение:

\[
4.5 + \frac{10x + 50 — 150}{x} = \frac{150}{x + 10}
\]
\]

Упростим:

\[
4.5 + \frac{10x — 100}{x} = \frac{150}{x + 10}
\]

Шаг 4: Умножим обе стороны на \( x(x + 10) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
4.5x(x + 10) + (10x — 100)(x + 10) = 150x
\]

Раскрываем скобки:

\[
4.5x^2 + 45x + 10x^2 — 100x + 1000 = 150x
\]

Приводим подобные члены:

\[
5.5x^2 — 195x — 1000 = 0
\]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение:

Коэффициенты: \( a = 5.5 \), \( b = -195 \), \( c = -1000 \).

Дискриминант:

\[
D = (-195)^2 — 4 \cdot 5.5 \cdot (-1000) = 38025 + 22000 = 60025
\]

Корни уравнения:

\[
x_1, x_2 = \frac{-(-195) \pm \sqrt{60025}}{2 \cdot 5.5}
\]

Находим корни:

\[
x_1 = \frac{195 + 245}{2 \cdot 5.5} = \frac{440}{11} = 40
\]

\[
x_2 = \frac{195 — 245}{2 \cdot 5.5} = \frac{-50}{11} \approx -4.55
\]

Шаг 6: Находим расстояние:

Так как отрицательное значение скорости не подходит, выбираем \( x_1 = 40 \) км/ч.

Теперь находим расстояние:

\( S = 10 \cdot 40 + 50 = 400 + 50 = 450 \, \text{км}
\)

Ответ: Расстояние между городами A и B — 450 км.