Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 803 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
a) \(\frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} — \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} — \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 — 2}\);
б) \(\frac{1 — y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 — y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 — 5y^2}\).
а) \(x = 1, \frac{2}{3}\).
б) \(y = 0.5, 0.4\).
Уравнение а)
Уравнение:
\[
\frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} — \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} — \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 — 2}
\]
Решение:
1. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
\[
\frac{(x\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3} — \sqrt{2})^2}{(x\sqrt{3} — \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{10x}{3x^2 — 2}
\]
2. Раскроем скобки в числителе:
\[
(x\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3} — \sqrt{2})^2 = x^2 \cdot 3 + 2x\sqrt{6} + 2\]
\[+ x^2 \cdot 3 — 2x\sqrt{6} + 2 = 6x^2 + 4
\]
3. Знаменатель:
\[
(x\sqrt{3} — \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2}) = x^2 \cdot 3 — 2
\]
4. Уравнение принимает вид:
\[
\frac{6x^2 + 4}{3x^2 — 2} = \frac{10x}{3x^2 — 2}
\]
5. Упростим уравнение:
\[
6x^2 + 4 = 10x
\]
6. Переносим все в одну сторону:
\[
6x^2 — 10x + 4 = 0
\]
7. Разделим на 2:
\[
3x^2 — 5x + 2 = 0
\]
8. Решим квадратное уравнение:
\[
D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1
\]
9. Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{5 — 1}{6} = \frac{2}{3}
\]
Ответ:
Уравнение а)
\(\frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} — \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} — \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 — 2}\)
Ответ: \(x = 1, \frac{2}{3}\).
Уравнение б)
Уравнение:
\[
\frac{1 — y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 — y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 — 5y^2}
\]
1. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
\[
\frac{(1 — y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2}{(1 + y\sqrt{5})(1 — y\sqrt{5})} = \frac{9y}{1 — 5y^2}
\]
2. Раскроем скобки в числителе:
\[
(1 — y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2 = 1 — 2y\sqrt{5} + 5y^2 + 1\]
\[+ 2y\sqrt{5} + 5y^2 = 10y^2 + 2
\]
3. Знаменатель:
\[
(1 — y\sqrt{5})(1 + y\sqrt{5}) = 1 — 5y^2
\]
4. Уравнение принимает вид:
\[
\frac{10y^2 + 2}{1 — 5y^2} = \frac{9y}{1 — 5y^2}
\]
5. Упростим уравнение:
\[
10y^2 + 2 = 9y
\]
6. Переносим все в одну сторону:
\[
10y^2 — 9y + 2 = 0
\]
7. Решим квадратное уравнение:
\[
D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 — 80 = 1
\]
8. Корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{9 + 1}{20} = 0.5, \quad y_2 = \frac{9 — 1}{20} = 0.4
\]
Ответ:
Уравнение б)
\(\frac{1 — y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 — y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 — 5y^2}\)
Ответ: \(y = 0.5, 0.4\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.