ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 790 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что квадратный трёхчлен:
а) \(-x^2 + 20x — 103\) не принимает положительных значений;
б) \(x^2 — 16x + 65\) не принимает отрицательных значений.

а)

\(-x^2 + 20x — 103 = — (x^2 — 20x + 103) = — (x^2 — 20x + 100 — 100 + 103) =\)

\(- ((x — 10)^2 + 3) < 0\)

б)

\(x^2 — 16x + 65 = x^2 — 16x + 64 — 64 + 65 = (x — 8)^2 + 1 > 0\)

а) Уравнение: \(-x^2 + 20x — 103\)

Рассмотрим преобразование:

1. Перепишем уравнение: \(-x^2 + 20x — 103 = -(x^2 — 20x + 103)\).
2. Добавим и вычтем 100 внутри скобок: \(-(x^2 — 20x + 100 — 100 + 103)\).
3. Перепишем как полный квадрат: \(-( (x — 10)^2 + 3 )\).

Поскольку \((x — 10)^2 \geq 0\) для всех \(x\), то \((x — 10)^2 + 3 > 0\). Следовательно, \(-((x — 10)^2 + 3) < 0\).

Таким образом, квадратный трёхчлен не принимает положительных значений.

б) Уравнение: \(x^2 — 16x + 65\)

Рассмотрим преобразование:

1. Перепишем уравнение: \(x^2 — 16x + 65 = x^2 — 16x + 64 — 64 + 65\).
2. Перепишем как полный квадрат: \((x — 8)^2 + 1\).

Поскольку \((x — 8)^2 \geq 0\) для всех \(x\), то \((x — 8)^2 + 1 > 0\).

Таким образом, квадратный трёхчлен не принимает отрицательных значений.