Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 781 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Зная, что уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), составьте квадратное уравнение, имеющее корни:
а) \(3x_1\) и \(3x_2\);
б) \(x_1 + 2\) и \(x_2 + 2\).
\[ x^2 + px + q = 0 \]
\[ x_1 + x_2 = -p \]
\[ x_1 \cdot x_2 = q \]
а) \( 3x_1 + 3x_2 = -3p \)
\[ 3x_1 \cdot 3x_2 = 9x_1x_2 = 9q \]
\[ x^2 + 3px + 9q = 0 \]
б) \( x_1 + 2 + x_2 + 2 = -p + 4 = -(p-4) \)
\[ x_1 \cdot x_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 =\]
\[q + 2(x_1 + x_2) + 4 = q + 2(-p) + 4 = q — 2p + 4 \]
\[ x^2 + (p-4)x + q — 2p + 4 = 0 \]
Дано квадратное уравнение:
\(x^2 + px + q = 0\)
Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -p\)
Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = q\)
Задача (a): Найти уравнение с корнями \(3x_1\) и \(3x_2\)
Сумма новых корней:
\(3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2) = 3(-p) = -3p\)
Произведение новых корней:
\(3x_1 \cdot 3x_2 = 9(x_1 \cdot x_2) = 9q\)
Новое уравнение:
\(x^2 + 3px + 9q = 0\)
Задача (б): Найти уравнение с корнями \(x_1 + 2\) и \(x_2 + 2\)
Сумма новых корней:
\((x_1 + 2) + (x_2 + 2) = x_1 + x_2 + 4 = -p + 4 = -(p — 4)\)
Произведение новых корней:
\((x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4\)
Подставляя значения:
\(= q + 2(x_1 + x_2) + 4 = q + 2(-p) + 4 = q — 2p + 4\)
Новое уравнение:
\(x^2 + (p — 4)x + (q — 2p + 4) = 0\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.