ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 778 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Квадрат разности корней уравнения \(x^2 + px + 405 = 0\) равен 144. Найдите \(p\).

\[ x^2 + px + 405 = 0 \]
\[ (x_1 — x_2)^2 = 144 \]

\[ x_1 + x_2 = -p \]
\[ x_1 \cdot x_2 = 405 \]

\[ (x_1 — x_2)^2 = 144 \]
\[ x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = 144 \]
\[ x_1^2 + x_2^2 — 2 \cdot 405 = 144 \]
\[ x_1^2 + x_2^2 = 144 + 810 \]
\[ x_1^2 + x_2^2 = 954 \]

\[ x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 — 2x_1x_2 = 954 \]
\[ (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = 954 \]
\[ (x_1 + x_2)^2 = 954 + 810 \]
\[ (x_1 + x_2)^2 = 1764 \]

\[ x_1 + x_2 = 42 \quad \text{или} \quad x_1 + x_2 = -42 \]

\[ -p = 42 \quad \text{или} \quad -p = -42 \]
\[ p = -42 \quad \text{или} \quad p = 42 \]

Ответ: -42; 42.

Дано квадратное уравнение:

\(x^2 + px + 405 = 0\)

Известно, что квадрат разности корней равен 144:

\( (x_1 — x_2)^2 = 144 \)

По теореме Виета:

• Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -p\)
• Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = 405\)

Раскроем квадрат разности:

\( (x_1 — x_2)^2 = x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = 144 \)

Выразим сумму квадратов корней через их произведение:

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \)

Подставим известные значения:

\( x_1^2 + x_2^2 = 144 + 2 \cdot 405 = 954 \)

Теперь выразим сумму квадратов через сумму корней:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)

Подставим найденные значения:

\( (x_1 + x_2)^2 = 954 + 810 = 1764 \)

Найдем сумму корней:

\( x_1 + x_2 = \sqrt{1764} = 42 \quad \text{или} \quad x_1 + x_2 = -42 \)

Найдем \(p\):

• Если \(x_1 + x_2 = 42\), то \(-p = 42\), следовательно, \(p = -42\)
• Если \(x_1 + x_2 = -42\), то \(-p = -42\), следовательно, \(p = 42\)

Ответ: \(p = -42\) или \(p = 42\).