ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 768 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:
a) \( 2x^2 — 41x + 39 = 0 \);
б) \( 17x^2 + 243x — 260 = 0 \).

1. Для уравнения \(2x^2 — 41x + 39 = 0\): корни \(x_1 = 1\), \(x_2 =1; 19\).
2. Для уравнения \(17x^2 + 243x — 260 = 0\): корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = -15\frac{5}{17}\).

Дано уравнение:

ax² + bx + c = 0

Условие: a + b + c = 0, следовательно b = -(a + c).

Подставим в уравнение:

ax² — (a + c)x + c = 0

Дискриминант:

D = b² — 4ac = (-(a + c))² — 4ac = a² + 2ac + c² — 4ac = a² — 2ac + c² = (a — c)² > 0

Корни уравнения:

• x₁ = 1
• x₂ = \(\frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}\)

Пример а)

Уравнение: 2x² — 41x + 39 = 0

Сумма коэффициентов: a + b + c = 2 — 41 + 39 = 0

Корни уравнения:

• x₁ = 1
• x₂ = \(\frac{39}{2} = 19\)

Ответ: 1; 19,5

Пример б)

Уравнение: 17x² + 243x — 260 = 0

Сумма коэффициентов: a + b + c = 17 + 243 — 260 = 0

Корни уравнения:

• x₁ = 1
• x₂ = -\(\frac{260}{17} = -15\frac{5}{17}\)

Ответ: 1; -15\(\frac{5}{17}\)