ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 767 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение \(12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0\) при любых значениях \(a\) не имеет положительных корней.

12x² + 70x + a² + 1 = 0 | : 12

x² + \(\frac{70}{12}\)x + \(\frac{a^2 + 1}{12}\) = 0

x² + \(\frac{35}{6}\)x + \(\frac{a^2 + 1}{12}\) = 0

\(\frac{a^2 + 1}{12}\) > 0 при всех значениях a

x₁ ⋅ x₂ = \(\frac{a^2 + 1}{12}\)

x₁ + x₂ = \(-\frac{35}{6}\)

x₁, x₂ будут одного знака, но т.к. сумма отрицательная, значит корни будут отрицательные.

Рассмотрим уравнение:

12x² + 70x + a² + 1 = 0

Разделим все уравнение на 12, чтобы упростить его:

x² + ⁷⁰/₁₂x + ^{a² + 1}/₁₂ = 0

Упростим дроби:

x² + ³⁵/₆x + ^{a² + 1}/₁₂ = 0

Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a, а сумма корней равна -b/a.

В нашем случае:

• Произведение корней: x₁ ⋅ x₂ = ^{a² + 1}/₁₂
• Сумма корней: x₁ + x₂ = —³⁵/₆

Так как ^{a² + 1}/₁₂ всегда положительно при любых значениях a, то произведение корней положительное.

Сумма корней отрицательная: —³⁵/₆ < 0.

Если произведение корней положительное, а сумма отрицательная, это означает, что оба корня отрицательные.

Таким образом, уравнение 12x² + 70x + a² + 1 = 0 не имеет положительных корней при любых значениях a.