Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 767 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что уравнение \(12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0\) при любых значениях \(a\) не имеет положительных корней.
12x² + 70x + a² + 1 = 0 | : 12
x² + \(\frac{70}{12}\)x + \(\frac{a^2 + 1}{12}\) = 0
x² + \(\frac{35}{6}\)x + \(\frac{a^2 + 1}{12}\) = 0
\(\frac{a^2 + 1}{12}\) > 0 при всех значениях a
x₁ ⋅ x₂ = \(\frac{a^2 + 1}{12}\)
x₁ + x₂ = \(-\frac{35}{6}\)
x₁, x₂ будут одного знака, но т.к. сумма отрицательная, значит корни будут отрицательные.
Рассмотрим уравнение:
12x² + 70x + a² + 1 = 0
Разделим все уравнение на 12, чтобы упростить его:
x² + 70/12x + a² + 1/12 = 0
Упростим дроби:
x² + 35/6x + a² + 1/12 = 0
Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a, а сумма корней равна -b/a.
В нашем случае:
- Произведение корней: x₁ ⋅ x₂ = a² + 1/12
- Сумма корней: x₁ + x₂ = —35/6
Так как a² + 1/12 всегда положительно при любых значениях a, то произведение корней положительное.
Сумма корней отрицательная: —35/6 < 0.
Если произведение корней положительное, а сумма отрицательная, это означает, что оба корня отрицательные.
Таким образом, уравнение 12x² + 70x + a² + 1 = 0 не имеет положительных корней при любых значениях a.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.