Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 755 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел
больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.
Пусть \( x \) и \( x + 1 \) — два последовательных натуральных числа. По условию задачи составим и решим уравнение:
\[ (x + x + 1)^2 = x^2 + (x + 1)^2 + 112 \]
\[ (2x + 1)^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1 + 112 \]
\[ 4x^2 + 4x + 1 — 2x^2 — 2x — 113 = 0 \]
\[ 2x^2 + 2x — 112 = 0 \]
\[ x^2 + x — 56 = 0 \]
\[ D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 > 0 \]
\[ \sqrt{D} = 15 \]
\[ x_1 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \]
\[ x_2 = \frac{-1 — 15}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \] — не подходит по условию.
\( x = 7 \)
\( x + 1 = 7 + 1 = 8 \)
Ответ: 7, 8.
Пусть x и x + 1 — два последовательных натуральных числа. По условию задачи составим и решим уравнение:
(x + x + 1)2 = x2 + (x + 1)2 + 112
Раскроем скобки и упростим уравнение:
(2x + 1)2 = x2 + x2 + 2x + 1 + 112
Упростим левую часть:
4x2 + 4x + 1
Упростим правую часть:
2x2 + 2x + 113
Составим уравнение:
4x2 + 4x + 1 = 2x2 + 2x + 113
Перенесём все члены на одну сторону и упростим:
2x2 + 2x — 112 = 0
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
x2 + x — 56 = 0
Решим квадратное уравнение:
Вычислим дискриминант:
D = b2 — 4ac = 12 — 4 * 1 * (-56) = 225
Найдём корни уравнения:
x1 = (-1 + √225) / 2 = 7
x2 = (-1 — √225) / 2 = -8
Так как x — натуральное число, то подходит только x = 7.
Следовательно, два последовательных числа: x = 7 и x + 1 = 8.
Ответ: 7, 8.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.