ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 745 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:
а) \(a^2 + 4a + 11\);
б) \(\frac{x^2 — 2x + 7}{19}\);
в) \(m^2 — 4m + 51\);
г) \(\frac{p^2 — 6p + 18}{p^2 + 1}\);
д) \(2b^2 — 8b + 20\);
е) \(\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}\).

а) \(a^2 + 4a + 11 = a^2 + 4a + 4 + 7 = (a + 2)^2 + 7 > 0\)

б) \(\frac{x^2 — 2x + 7}{19} = \frac{x^2 — 2x + 1 + 6}{19} = \frac{(x — 1)^2 + 6}{19} > 0\)

в) \(m^2 — 4m + 51 = m^2 — 4m + 4 + 47 = (m — 2)^2 + 47 > 0\)

г) \(\frac{p^2 — 6p + 18}{p^2 + 1} = \frac{p^2 — 6p + 9 + 9}{p^2 + 1} = \frac{(p — 3)^2 + 9}{p^2 + 1} > 0\)

д) \(2b^2 — 8b + 20 = 2(b^2 — 4b + 10) = 2(b^2 — 4b + 4 + 6) = 2((b — 2)^2 + 6) =\)

\(2(b — 2)^2 + 12 > 0\)

е) \(\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40} = \frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 36 + 4} = \frac{2c^2 + 3}{(c + 6)^2 + 4} > 0\)

а) \(a^2 + 4a + 11\)

Преобразуем выражение:
\(a^2 + 4a + 11 = a^2 + 4a + 4 + 7 = (a + 2)^2 + 7\).
Квадрат любого числа \((a + 2)^2 \geq 0\), а \(7 > 0\).
Следовательно, выражение всегда положительно: \((a + 2)^2 + 7 > 0\).

б) \(\frac{x^2 — 2x + 7}{19}\)

Преобразуем числитель:
\(x^2 — 2x + 7 = x^2 — 2x + 1 + 6 = (x — 1)^2 + 6\).
Тогда выражение становится:
\(\frac{x^2 — 2x + 7}{19} = \frac{(x — 1)^2 + 6}{19}\).
Числитель \((x — 1)^2 + 6 > 0\), так как \((x — 1)^2 \geq 0\) и \(6 > 0\).
Знаменатель \(19 > 0\).
Следовательно, выражение всегда положительно: \(\frac{(x — 1)^2 + 6}{19} > 0\).

в) \(m^2 — 4m + 51\)

Преобразуем выражение:
\(m^2 — 4m + 51 = m^2 — 4m + 4 + 47 = (m — 2)^2 + 47\).
Квадрат любого числа \((m — 2)^2 \geq 0\), а \(47 > 0\).
Следовательно, выражение всегда положительно: \((m — 2)^2 + 47 > 0\).

г) \(\frac{p^2 — 6p + 18}{p^2 + 1}\)

Преобразуем числитель:
\(p^2 — 6p + 18 = p^2 — 6p + 9 + 9 = (p — 3)^2 + 9\).
Тогда выражение становится:
\(\frac{p^2 — 6p + 18}{p^2 + 1} = \frac{(p — 3)^2 + 9}{p^2 + 1}\).
Числитель \((p — 3)^2 + 9 > 0\), так как \((p — 3)^2 \geq 0\) и \(9 > 0\).
Знаменатель \(p^2 + 1 > 0\), так как \(p^2 \geq 0\) и \(1 > 0\).
Следовательно, выражение всегда положительно: \(\frac{(p — 3)^2 + 9}{p^2 + 1} > 0\).

д) \(2b^2 — 8b + 20\)

Преобразуем выражение:
\(2b^2 — 8b + 20 = 2(b^2 — 4b + 10) = 2(b^2 — 4b + 4 + 6) = 2((b — 2)^2 + 6)\).
Квадрат любого числа \((b — 2)^2 \geq 0\), а \(6 > 0\).
Следовательно, выражение всегда положительно: \(2((b — 2)^2 + 12) > 0\).

е) \(\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}\)

Преобразуем знаменатель:
\(c^2 + 12c + 40 = c^2 + 12c + 36 + 4 = (c + 6)^2 + 4\).
Тогда выражение становится:
\(\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40} = \frac{2c^2 + 3}{(c + 6)^2 + 4}\).
Числитель \(2c^2 + 3 > 0\), так как \(2c^2 \geq 0\) и \(3 > 0\).
Знаменатель \((c + 6)^2 + 4 > 0\), так как \((c + 6)^2 \geq 0\) и \(4 > 0\).
Следовательно, выражение всегда положительно: \(\frac{2c^2 + 3}{(c + 6)^2 + 4} > 0\).