ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 739 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выясните, при каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения
\( x^2 — ax + a — 3 = 0 \)
принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

\( x^2 — ax + a — 3 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = a \)
\( x_1x_2 = a — 3 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 — 2x_1x_2 =\)

\((x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = a^2 — 2(a — 3) = a^2 — 2a + 6 =\)

\(a^2 — 2a + 1 + 5 = (a — 1)^2 + 5 \),
т.е. при \( a = 1 \) наименьшее значение будет равно \( 5 \).

Ответ: при \( a = 1 \); \( 5 \).

Дано квадратное уравнение:

x² — ax + a — 3 = 0

Сумма корней квадратного уравнения равна:

x₁ + x₂ = a

Произведение корней квадратного уравнения равно:

x₁x₂ = a — 3

Найдем сумму квадратов корней. Формула для суммы квадратов:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² — 2x₁x₂

Подставим известные значения:

x₁² + x₂² = a² — 2(a — 3)

Раскроем скобки:

x₁² + x₂² = a² — 2a + 6

Приведем выражение к виду:

x₁² + x₂² = (a — 1)² + 5

Из выражения видно, что минимальное значение достигается, когда:

a — 1 = 0 ⟹ a = 1

При a = 1 сумма квадратов корней равна:

x₁² + x₂² = (1 — 1)² + 5 = 5

Ответ:

При a = 1 наименьшее значение суммы квадратов корней равно 5.