Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 711 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
а)
\[
\begin{cases}
x — y = 5, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6};
\end{cases}
\]
б)
\[
\begin{cases}
3x + y = 1, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -2,5;
\end{cases}
\]
в)
\[
\begin{cases}
x + y = 6, \\
\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{4};
\end{cases}
\]
г)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{y} — \frac{1}{x} = \frac{1}{3}, \\
x — 2y = 2.
\end{cases}
\]
а) (15; 10), (2; -3).
б) (2; 4), (12; -6).
в) (2/5; -1/5), (-1/3; 2).
г) (6; 2), (-1; -1.5).
а) Решение:
Система уравнений:
x - y = 5, 1/x + 1/y = 1/6.
Умножим второе уравнение на 6xy:
6y + 6x = xy.
Из первого уравнения: x = 5 + y. Подставляем в преобразованное второе уравнение:
6y + 6(5 + y) = y(5 + y).
Упрощаем: 6y + 30 + 6y - 5y - y² = 0.
y² - 7y - 30 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
D = 49 + 120 = 169, √D = 13.
y₁ = 10, y₂ = -3.
Подставляем значения y в первое уравнение:
x₁ = 15, x₂ = 2.
Ответ: (15; 10), (2; -3).
б) Решение:
Система уравнений:
x + y = 6, 1/x - 1/y = 1/4.
Умножим второе уравнение на 4xy:
4y - 4x = xy.
Из первого уравнения: x = 6 - y. Подставляем в преобразованное второе уравнение:
4y - 4(6 - y) = y(6 - y).
Упрощаем: 4y - 24 + 4y - 6y + y² = 0.
y² + 2y - 24 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
D = 4 + 96 = 100, √D = 10.
y₁ = 4, y₂ = -6.
Подставляем значения y в первое уравнение:
x₁ = 2, x₂ = 12.
Ответ: (2; 4), (12; -6).
в) Решение:
Система уравнений:
3x + y = 1, 1/x + 1/y = -2.5.
Умножим второе уравнение на -2.5xy:
y + x = -2.5xy.
Из первого уравнения: y = 1 - 3x. Подставляем во второе уравнение:
1 - 3x + x + 2.5x(1 - 3x) = 0.
Упрощаем: 7.5x² - 0.5x - 1 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
D = 0.25 + 30 = 30.25, √D = 5.5.
x₁ = 2/5, x₂ = -1/3.
Подставляем значения x в первое уравнение:
y₁ = -1/5, y₂ = 2.
Ответ: (2/5; -1/5), (-1/3; 2).
г) Решение:
Система уравнений:
1/y - 1/x = 1/3, x - 2y = 2.
Умножим первое уравнение на 3xy:
3x - 3y = xy.
Из второго уравнения: x = 2 + 2y. Подставляем в преобразованное первое уравнение:
3(2 + 2y) - 3y = y(2 + 2y).
Упрощаем: 2y² - y - 6 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
D = 49, √D = 7.
y₁ = 2, y₂ = -1.5.
Подставляем значения y во второе уравнение:
x₁ = 6, x₂ = -1.
Ответ: (6; 2), (-1; -1.5).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.