ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 704 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
x — y = 3, \\
xy = -2;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
x + y = 2,5, \\
xy = 1,5;
\end{cases}
\]

в)
\[
\begin{cases}
x + y = -1, \\
x^2 + y^2 = 1;
\end{cases}
\]

г)
\[
\begin{cases}
x — y = 2, \\
x^2 — y^2 = 17.
\end{cases}
\]

а) \((2; -1), (1; -2)\)
б) \((1; 1.5), (1.5; 1)\)
в) \((-1; 0), (0; -1)\)
г) \((5.25; 3.25)\)

а)
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
x — y = 3, \\
xy = -2.
\end{cases}
\]

1. Выразим \(x\) через \(y\):
\[
x = 3 + y.
\]

2. Подставим в \(xy = -2\):
\[
(3 + y)y = -2.
\]

3. Преобразуем уравнение:
\[
y^2 + 3y + 2 = 0.
\]

4. Решим квадратное уравнение:
\[
D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad \sqrt{D} = 1.
\]

5. Найдем корни:
\[
y_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{-3 — 1}{2} = -2.
\]

6. Найдем соответствующие значения \(x\):
\[
x_1 = 3 + y_1 = 3 — 1 = 2, \quad x_2 = 3 + y_2 = 3 — 2 = 1.
\]

Ответ: \((2; -1), (1; -2).\)

б)
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 2.5, \\
xy = 1.5.
\end{cases}
\]

1. Выразим \(x\) через \(y\):
\[
x = 2.5 — y.
\]

2. Подставим в \(xy = 1.5\):
\[
(2.5 — y)y = 1.5.
\]

3. Преобразуем уравнение:
\[
y^2 — 2.5y + 1.5 = 0.
\]

4. Решим квадратное уравнение:
\[
D = b^2 — 4ac = (-2.5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1.5 = 6.25 — 6 = 0.25, \quad \sqrt{D} = 0.5.
\]

5. Найдем корни:
\[
y_1 = \frac{2.5 + 0.5}{2} = 1.5, \quad y_2 = \frac{2.5 — 0.5}{2} = 1.
\]

6. Найдем соответствующие значения \(x\):
\[
x_1 = 2.5 — y_1 = 2.5 — 1.5 = 1, \quad x_2 = 2.5 — y_2 = 2.5 — 1 = 1.5.
\]

Ответ: \((1; 1.5), (1.5; 1).\)

в)
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = -1, \\
x^2 + y^2 = 1.
\end{cases}
\]

1. Выразим \(x\) через \(y\):
\[
x = -1 — y.
\]

2. Подставим в \(x^2 + y^2 = 1\):
\[
(-1 — y)^2 + y^2 = 1.
\]

3. Раскроем скобки:
\[
1 + 2y + y^2 + y^2 = 1.
\]

4. Преобразуем:
\[
2y^2 + 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y(y + 1) = 0.
\]

5. Найдем корни:
\[
y_1 = 0, \quad y_2 = -1.
\]

6. Найдем соответствующие значения \(x\):
\[
x_1 = -1 — y_1 = -1 — 0 = -1, \quad x_2 = -1 — y_2 = -1 — (-1) = 0.
\]

Ответ: \((-1; 0), (0; -1).\)

г)
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
x — y = 2, \\
x^2 — y^2 = 17.
\end{cases}
\]

1. Преобразуем \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\):
\[
(x — y)(x + y) = 17.
\]

2. Подставим \(x — y = 2\):
\[
2(x + y) = 17 \quad \Rightarrow \quad x + y = 8.5.
\]

3. Решим систему:
\[
\begin{cases}
x — y = 2, \\
x + y = 8.5.
\end{cases}
\]

4. Сложим уравнения:
\[
2x = 10.5 \quad \Rightarrow \quad x = 5.25.
\]

5. Подставим \(x = 5.25\) в \(x + y = 8.5\):
\[
y = 8.5 — 5.25 = 3.25.
\]

Ответ: \((5.25; 3.25).\)