ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 683 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите все целые решения уравнения:
а) \(xy = 2\);
б) \(x^2 — y^2 = 3\).

а) \(xy = 2\)

Ответ: \((1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1)\)

б) \(x^2 — y^2 = 3\)

Ответ: \((-2; -1), (-2; 1), (2; -1), (2; 1)\)

а) \(xy = 2\)

Выразим \(y\) через \(x\):

\[
y = \frac{2}{x}
\]

Для целых решений \(x\) и \(y\), \(x\) должен быть делителем числа 2:

При \(x = 1\): \(y = \frac{2}{1} = 2\)

При \(x = 2\): \(y = \frac{2}{2} = 1\)

При \(x = -1\): \(y = \frac{2}{-1} = -2\)

При \(x = -2\): \(y = \frac{2}{-2} = -1\)

Ответ: \((1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1)\)

б) \(x^2 — y^2 = 3\)

Разложим разность квадратов:

\[
x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) = 3
\]

Поскольку произведение \((x — y)\) и \((x + y)\) равно 3, рассмотрим все пары целых делителей числа 3:

\((x — y = 3, x + y = 1)\)

Сложим: \(2x = 4 \Rightarrow x = 2\)

Подставим: \(2 + y = 1 \Rightarrow y = -1\)

\((x — y = 1, x + y = 3)\)

Сложим: \(2x = 4 \Rightarrow x = 2\)

Подставим: \(2 + y = 3 \Rightarrow y = 1\)

\((x — y = -3, x + y = -1)\)

Сложим: \(2x = -4 \Rightarrow x = -2\)

Подставим: \(-2 + y = -1 \Rightarrow y = 1\)

\((x — y = -1, x + y = -3)\)

Сложим: \(2x = -4 \Rightarrow x = -2\)

Подставим: \(-2 + y = -3 \Rightarrow y = -1\)

Ответ: \((-2; -1), (-2; 1), (2; -1), (2; 1)\)