Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 670 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
a) \(\frac{\sqrt{3} — 1}{2}\) и \(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}\);
б) \(2 — \sqrt{3}\) и \(\frac{1}{2 — \sqrt{3}}\).
a)
\(x_1 = \frac{\sqrt{3} — 1}{2}\), \(x_2 = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}\)
\(x_1 + x_2 = -p\)
\(x_1 \cdot x_2 = q\)
\[
x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{3} — 1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{\sqrt{3} — 1 + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} =\]
\[\sqrt{3}, \, \text{т.е. } p = -\sqrt{3}
\]
\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{\sqrt{3} — 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)}{4} =\]
\[\frac{3 — 1}{4} = \frac{1}{2}, \, \text{т.е. } q = 0.5
\]
Квадратное уравнение:
\[
x^2 + px + q = 0
\]
\[
x^2 — \sqrt{3}x + 0.5 = 0 \quad | \cdot 2
\]
\[
2x^2 — 2\sqrt{3}x + 1 = 0
\]
б)
\(x_1 = 2 — \sqrt{3}\), \(x_2 = \frac{1}{2 — \sqrt{3}}\)
\(x_1 + x_2 = -p\)
\(x_1 \cdot x_2 = q\)
\[
x_1 + x_2 = 2 — \sqrt{3} + \frac{1}{2 — \sqrt{3}} = \frac{(2 — \sqrt{3})(2 — \sqrt{3}) + 1}{2 — \sqrt{3}} =\]
\[\frac{4 — 4\sqrt{3} + 3 + 1}{2 — \sqrt{3}} = \frac{8 — 4\sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} = 4, \, \text{т.е. } p = -4
\]
\[
x_1 \cdot x_2 = (2 — \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2 — \sqrt{3}} = 1, \, \text{т.е. } q = 1
\]
Квадратное уравнение:
\[
x^2 + px + q = 0
\]
\[
x^2 — 4x + 1 = 0
\]
a) Решение
Даны корни:
x₁ = (√3 — 1) / 2 и
x₂ = (√3 + 1) / 2.
Сумма корней:
x₁ + x₂ = (√3 — 1)/2 + (√3 + 1)/2.
Выполним сложение:
x₁ + x₂ = (√3 — 1 + √3 + 1) / 2 = 2√3 / 2 = √3.
Коэффициент p равен:
p = -√3.
Произведение корней:
x₁ * x₂ = ((√3 — 1) / 2) * ((√3 + 1) / 2).
Выполним умножение:
x₁ * x₂ = ((√3 — 1)(√3 + 1)) / 4 = (3 — 1) / 4 = 2 / 4 = 0.5.
Коэффициент q равен:
q = 0.5.
Квадратное уравнение имеет вид:
x² + px + q = 0.
Подставим значения p и q:
x² — √3x + 0.5 = 0.
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
2x² — 2√3x + 1 = 0.
Даны корни:
x₁ = 2 — √3 и
x₂ = 1 / (2 — √3).
Сумма корней:
x₁ + x₂ = (2 — √3) + 1 / (2 — √3).
Приведем к общему знаменателю:
x₁ + x₂ = (2 — √3) + (2 — √3) / (2 — √3) = (4 — 4√3 + 3 + 1) / (2 — √3).
После упрощения получаем:
x₁ + x₂ = 4,
значит p = -4.
Произведение корней:
x₁ * x₂ = (2 — √3) * (1 / (2 — √3)).
Упростим выражение:
x₁ * x₂ = 1,
значит q = 1.
Квадратное уравнение имеет вид:
x² + px + q = 0.
Подставим значения p и q:
x² — 4x + 1 = 0.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.