Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 667 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что:
a)
\[
\frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22;
\]
б)
\[
\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18.
\]
a)
\[
\frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22
\]
\[
\frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = \frac{(11 — 2\sqrt{30})}{(11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30})} +\]
\[\frac{(11 + 2\sqrt{30})}{(11 — 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})}
\]
\[
= \frac{11 — 2\sqrt{30} + 11 + 2\sqrt{30}}{(11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30})} = \frac{22}{121 — 120} = \frac{22}{1} = 22.
\]
Доказано.
б)
\[
\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18
\]
\[
\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)} + \frac{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} — 2)}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)}
\]
\[
= \frac{5 + 4 + 4}{5 — 4} + \frac{5 — 4 — 4}{5 — 4} = \frac{18}{1} = 18.
\]
Доказано.
Задание (a):
Нужно доказать, что:
1 / (11 + 2√30) + 1 / (11 — 2√30) = 22
1. Приводим дроби к общему знаменателю:
𝒷 =
[ (11 — 2√30) + (11 + 2√30) ] / [ (11 + 2√30)(11 — 2√30) ]
2. Упрощаем числитель:
(11 — 2√30) + (11 + 2√30) = 11 + 11 + (-2√30 + 2√30) = 22
3. Упрощаем знаменатель:
(11 + 2√30)(11 — 2√30) = 11² — (2√30)² = 121 — 4 * 30 = 121 — 120 = 1
4. Записываем результат:
𝒷 = 22 / 1 = 22
Ответ: Доказано.
Нужно доказать, что:
(√5 + 2) / (√5 — 2) + (√5 — 2) / (√5 + 2) = 18
1. Приводим дроби к общему знаменателю:
𝒷 = [(√5 + 2)² + (√5 — 2)²] / [(√5 + 2)(√5 — 2)]
2. Раскрываем числитель:
(√5 + 2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5
(√5 — 2)² = 5 — 4√5 + 4 = 9 — 4√5
Сумма числителя: (9 + 4√5) + (9 — 4√5) = 18
3. Упрощаем знаменатель:
(√5 + 2)(√5 — 2) = 5 — 4 = 1
4. Записываем результат:
𝒷 = 18 / 1 = 18
Ответ: Доказано.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.