ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 648 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Шаг 1: Обозначение переменных

Пусть числитель дроби равен \( x \), тогда знаменатель равен \( x + 3 \).

После изменения числителя и знаменателя дробь станет:

\[
\frac{x + 7}{x + 3 + 5}.
\]

По условию, новая дробь больше исходной на \( \frac{1}{2} \). Запишем уравнение:

\[
\frac{x}{x + 3} + \frac{1}{2} = \frac{x + 7}{x + 8}.
\]

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Приведём уравнение к общему знаменателю:

\[
2(x)(x + 8) + (x + 3)(x + 8) = 2(x + 7)(x + 3).
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
2x^2 + 16x + x^2 + 8x + 3x + 24 = 2(x^2 + 10x + 21).
\]

Сложим и упростим:

\[
3x^2 + 27x + 24 = 2x^2 + 20x + 42.
\]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[
x^2 + 7x — 18 = 0.
\]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Найдём дискриминант:

\[
D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121.
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-7 + 11}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-7 — 11}{2} = -9.
\]

Шаг 4: Проверка корней

Если \( x = 2 \), то дробь:

\[
\frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.
\]

Если \( x = -9 \), то знаменатель становится меньше числителя (\( -9 + 3 = -6 \)), что противоречит условию.

Ответ

Искомая дробь: \( \frac{2}{5} \).