Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 640 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
а)
\[
\frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} — \frac{6}{x};
\]
б)
\[
\frac{2}{y^2 — 3y} — \frac{1}{y — 3} = \frac{5}{y^3 — 9y};
\]
в)
\[
\frac{18}{4x^2 + 4x + 1} — \frac{1}{2x^2 — x} = \frac{6}{4x^2 — 1};
\]
г)
\[
\frac{3(4y^2 + 10y — 7)}{16y^2 — 9} = \frac{3y — 7}{3 — 4y} + \frac{6y + 5}{3 + 4y}.
\]
а)
\[
x = -\frac{2}{11}, \; x = 6
\]
б)
\[
y = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \; y = -\frac{1-\sqrt{5}}{2}
\]
в)
\[
x = \frac{7+3\sqrt{6}}{10}, \; x = \frac{7-3\sqrt{6}}{10}
\]
г)
\[
y = 3
\]
Задача (а)
\[
\frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} — \frac{6}{x}
\]
Условие:
\( x \neq 2, x \neq -1, x \neq 0 \)
Преобразование:
Домножим обе части на \( x(x-2)(x+1) \):
\[
21x(x-2) = 16x(x+1) — 6(x+1)(x-2)
\]
Раскроем скобки:
\[
21x^2 — 42x = 16x^2 + 16x — 6(x^2 + x — 2x — 2)
\]
\[
21x^2 — 42x = 16x^2 + 16x — 6x^2 — 6x + 12
\]
Приведем подобные:
\[
11x^2 — 64x — 12 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-64)^2 — 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624
\]
\[
\sqrt{D} = 68
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{22} = 6
\]
\[
x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 — 68}{22} = -\frac{2}{11}
\]
Задача (б)
\[
\frac{2}{y^2 — 3y} — \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^3 — 9y}
\]
Условие:
\( y \neq 3, y \neq -3, y \neq 0 \)
Преобразование:
Домножим обе части на \( y(y-3)(y+3) \):
\[
2(y+3) — y(y+3) = 5
\]
Раскроем скобки:
\[
-y^2 — y + 1 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 1 = 5
\]
\[
\sqrt{D} = \sqrt{5}
\]
Корни:
\[
y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{-2}, \quad y_2 = \frac{1 — \sqrt{5}}{-2}
\]
Задача (в)
\[
\frac{18}{4x^2 + 4x + 1} — \frac{1}{2x^2 — x} = \frac{6}{4x^2 — 1}
\]
Условие:
\( x \neq 0, x \neq 0.5, x \neq -0.5 \)
Преобразование:
Домножим обе части на \( x(2x-1)(2x+1)^2 \):
\[
18x(2x-1) — (2x+1)^2 = 6x(2x+1)
\]
Приведем подобные:
\[
20x^2 — 28x — 1 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 864, \quad \sqrt{D} = 12\sqrt{6}
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10}, \quad x_2 = \frac{7 — 3\sqrt{6}}{10}
\]
Задача (г)
\[
\frac{3(4y^2 + 10y — 7)}{16y^2 — 9} = \frac{3y — 7}{3 — 4y} + \frac{6y + 5}{3 + 4y}
\]
Условие:
\( y \neq \frac{3}{4}, y \neq -\frac{3}{4} \)
Преобразование:
Домножим обе части на \( (4y-3)(4y+3) \):
\[
9y — 27 = 0
\]
Решение:
\[
y = 3
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.