Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 639 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите уравнение:
a)
\[
\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5};
\]
б)
\[
\frac{17}{(x-3)(x+4)} — \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4};
\]
в)
\[
\frac{4}{(x+1)^2} — \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2-1} = 0;
\]
г)
\[
\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}.
\]
а) Ответ: \(1; 7\).
б) Ответ: \(1 — \sqrt{14}; 1 + \sqrt{14}\).
в) Ответ: \(\frac{5 + \sqrt{17}}{4}; \frac{5 — \sqrt{17}}{4}\).
г) Ответ: \(-\frac{1}{9}; 1\).
а)
Уравнение:
\[
\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}
\]
Домножим на \((x-5)(x+1)\):
\[
10 + x(x — 5) = 3(x + 1)
\]
Преобразуем:
\[
10 + x^2 — 5x — 3x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 8x + 7 = 0
\]
Найдём дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 > 0
\]
Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 6}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 — 6}{2} = 1
\]
Ответ: \(1; 7\).
б)
Уравнение:
\[
\frac{17}{(x-3)(x+4)} — \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}
\]
Домножим на \((x-3)(x+4)\):
\[
17 — (x+4) = x(x-3)
\]
Преобразуем:
\[
17 — x — 4 — x^2 + 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x — x^2 + 13 = 0
\]
Найдём дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 13 = 4 + 52 = 56 > 0
\]
Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = 1 — \sqrt{14}, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = 1 + \sqrt{14}
\]
Ответ: \(1 — \sqrt{14}; 1 + \sqrt{14}\).
в)
Уравнение:
\[
\frac{4}{(x+1)^2} — \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2 — 1} = 0
\]
Домножим на \((x-1)^2(x+1)^2\):
\[
4(x-1)^2 — (x+1)^2 + (x+1)(x-1) = 0
\]
Преобразуем:
\[
4(x^2 — 2x + 1) — (x^2 + 2x + 1) + x^2 — 1 = 0
\]
\[
4x^2 — 8x + 4 — x^2 — 2x — 1 + x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 — 10x + 2 = 0
\]
Найдём дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 100 — 32 = 68 > 0
\]
Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 2\sqrt{17}}{8}, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 — 2\sqrt{17}}{8}
\]
Ответ: \(\frac{5 + \sqrt{17}}{4}; \frac{5 — \sqrt{17}}{4}\).
г)
Уравнение:
\[
\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}
\]
Домножим на \((3x-1)^2(3x+1)\):
\[
4x(3x-1) + (3x-1)(3x+1) = 4x(3x+1)
\]
Преобразуем:
\[
12x^2 — 4x + 9x^2 — 1 — 12x^2 — 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 — 8x — 1 = 0
\]
Найдём дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 > 0
\]
Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = 1, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = -\frac{1}{9}
\]
Ответ: \(-\frac{1}{9}; 1\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.